Choix d'un point sur un disque

Bonsoir,
Tu as tout bon. J'imagine qu'un probabiliste ombrageux qui ne plaisante pas avec ces histoires, racontera quelque chose qui ressemble à ce qui suit:

"Choisir un point de manière équiprobable" dans $\mathcal D(O;1)$ signifie que ses coordonnées $(X,Y)$ forment un couple aléatoire qui obeit à la loi uniforme sur $\mathcal D (O,1)$ , admettant pour densité la fonction
$$f_{X,Y}: \left\{ \begin {array} {ccccl} & \:\R^2& \to &\R \\&(x,y) &\mapsto & \dfrac 1{\pi} & \text{si}\:\: x^2+y^2\leqslant 1.\\ &(x,y)& \mapsto & 0 & \text{sinon}. \end{array} \right.$$

Alors la densité marginale $f_X$ de $X$ est définie par : $ \forall x \in \R ,\quad f_X(x) = \displaystyle \int _{-\infty} ^{+\infty} f_{X,Y}(x,y) \:\mathrm dy = \left\{ \begin {array} {cl } \frac{2 \sqrt {1-x^2} }{\pi}& \text{si}\: -1\leqslant x \leqslant 1. \\ 0 & \text {sinon}.\end{array} \right.$