Tribu engendrée par $]a, +\infty[$

Bonjour,

j'essaie de comprendre la démonstration à la proposition 1.6 du cours suivant : https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~edumas/integration.pdf
La proposition est:

La tribu de Borel sur $\mathbb{R}$ est engendrée par les intervalles $]a, +\infty[$ où $a \in \mathbb{R}$

Voilà un "plan" de ce que j'ai compris de la démonstration:
On procède par double inclusion. Il est évident que la tribu engendrée par les intervalles $]a, +\infty[$ où $a \in \mathbb{R}$ est incluse dans la tribu de Borel. De plus, la tribu engendrée par les intervalles contient tous les ouverts de $\mathbb{R}$ (aucun problème pour ça. Il me semble qu'il y a une petite coquille, une union au lieu d'une intersection?). Mais pourquoi cela prouve la seconde inclusion? A priori, la tribu de Borel ne contient pas que les ouverts de $\mathbb{R}$, si?

J'ai donc essayé de répondre à cette question pour mieux comprendre:
Soit $X$ un ensemble, soit $F$ et $G$ deux familles de parties de $X$, a-t-on $F \subset \sigma(G) \Rightarrow \sigma(F) \subset \sigma(G)$ ? Mais je pense que non.
Je note $\sigma(F) = \bigcap_{\mathcal{N} tq \mathcal{N} \supset F} \mathcal{N}$ et $\sigma(G) = \bigcap_{\mathcal{M} tq \mathcal{M} \supset G} \mathcal{M}$. ($tq$ signifie "tribu de $X$ telle que").
Bien qu'on ait $F \subset \bigcap_{\mathcal{M} tq \mathcal{M} \supset G} \mathcal{M}$, et $F \subset \bigcap_{\mathcal{N} tq \mathcal{N} \supset F} \mathcal{N}$, rien n'assure l'inclusion entre les deux intersections (a moins qu'il y ait un argument que je manque!).

Quelqu'un pourrait-il me donner une indication? Quel morceau de la preuve n'ai-je pas compris?

Merci d'avance, bonne fin de journée!