Bernoulli et blocs de 1...

malavita
malavita
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonsoir à tous,
je considère l'ensemble $\Omega$ des suites de 0 et de 1, en supposant que ces éléments apparaissent de façon indépendantes avec pour probabilités respectives $p$ et $q=1-p$. Je définis les variables aléatoires $X$ et $Y$ qui a une telle suite associe la taille des premiers et second "blocs". Par exemple si $\omega=(1,1,0,0,0,1....)$, alors $X(\omega=2)$ et $Y(\omega=3)$.
Je m'intéresse aux lois de $X$ et $Y$, pour $X$ je trouve sans trop de problème que $p(X=n)=p^nq+q^np$.
Pour celle de $Y$, je conditionne l'évèment $Y=k$ par les évènements $X=n$, qui constitue bien un système complet d'évènements.
Mon problème se résume donc à calculer $p(Y=k/X=n)$.
Je distingue 2 cas :
- le premier bloc est constitué de 1, le terme de rang $n+1$ est donc 0, je dois donc avoir pour obtenir $Y=k$, $k-1$ fois 0 et une fois le 1, ce qui donne une probabilité de $q^{k-1}p$.
- le second bloc est constitué de 0, le terme de rang $n+1$ est donc 1, je dois donc avoir pour obtenir $Y=k$, $k-1$ fois 1 et une fois le 0 ce qui donne une probabilité de $p^{k-1}q$.

J'en conclus que $p(Y=k/X=n)=q^{k-1}p+p^{k-1}q$ et en particulier $p(Y=1/X=n)=p+q=1$, ce qui est manifestement faux !

Je renifle une petite erreur dans l'addition hasardeuse des probabilités que j'ai effectuée, mais je ne parviens pas à comprendre ce qui cloche...
Si une âme probabiliste et charitable passe par là !
Merci
A+
F.

Réponses

  • P.
    P.
    Pourquoi t'embetes tu avec ces conditionnements? Si $A_0$ et $A_1$ sont les evenements : le premier est 0 {resp 1} alors $$\Pr(X=n,Y=k)=\Pr(X=n,Y=k, A_0)+ \Pr(X=n,Y=k,A_1)=q^{n+1}p^k+p^{n+1}q^k.$$
  • aléa
    aléa
    Si on pose $p_0=p$ et $p_1=q$, il n'est pas très difficile de voir que sachant que le premier tirage est égal à $x$, $X$ et $Y$ sont des variables aléatoires indépendantes, de loi respectives $\mathcal{G}(1-p_x)$ et $\mathcal{G}(p_x)$.
    On peut généraliser avec le troisième, quatrième, cinquième bloc, etc, les paramètres des géométriques indépendantes alternent.
  • malavita
    malavita
    Merci pour vos réponses, qui m'ont éclairées. Par contre, je ne trouve toujours pas la faille dans mon raisonnement initial ...

    @P: pourquoi je m'embête avec des conditionnements... Pavlov sans doute ;-)
    Bonne journée
    F.
  • raoul.S
    raoul.S
    malavita a écrit:
    Par contre, je ne trouve toujours pas la faille dans mon raisonnement initial

    Tu as écrit que $p(Y=k/X=n)=q^{k-1}p+p^{k-1}q$, mais ce n'est pas $p(Y=k/X=n)=q^{k}p+p^{k}q$ plutôt ?
  • malavita
    malavita
    Et bien justement, si j'ai un premier bloc de $n$ 1, le terme $n+1$ est 0 et il n'y a donc dans ce cas pas d'incertitudes sur ce terme, c'est pour ça que j'ai utilisé $k-1$ au lieu de $k$.
    Si ce terme vaut 1, j'ai à ce moment là un premier bloc de n+1 termes et donc $X>n$.

    A+

    F.
  • Chaurien
    Chaurien
    J'avais étudié ce problème il y a une dizaine d'années pour des colles en Maths Spé. J'avais appelé $X_n$ la longueur de la $n$-ème « séquence » à Pile ou Face, en attendant une terminologie plus correcte, si elle existe. Par exemple si l'on obtient la suite $0011101100001...$ alors $X_1=2,X_2=3,X_3=1,X_4=2,X_5=4$. C'est un problème très intéressant, et qui donne des résultats surprenants.
    Si j'arrive à relire mes grimoires, la loi est la même pour les séquences de rangs pairs (resp. impairs) et il y a quelque chose d'analogue pour les lois conjointes. Les variables aléatoires $X_1$ et $X_2$ ne sont indépendantes que si $p= \frac 12$, et résultats analogues pour les suivantes. Etc.
    Je n'avais pas achevé l'étude, n'étant qu'un probabiliste d'occasion. Ça m'intéresse d'en reparler après tout ce temps.
    Bonne soirée.
    Fr. Ch.
  • Chaurien
    Chaurien
    Malavita écrit « merci pour vos réponses, qui m'ont éclairées ».
    Si c'est une personne de sexe masculin, il faut écrire « merci pour vos réponses, qui m'ont éclairé ».
    Si c'est une personne de sexe féminin, il faut écrire « merci pour vos réponses, qui m'ont éclairée ».
    En son état actuel, la grammaire ne prévoit pas les personnalités multiples ;-).
    Bonne soirée.
    Fr. Ch.
  • Chaurien
    Chaurien
    Je reprends les notations de mon précédent message, notant $X_n$ la longueur de la $n$-ème « séquence », c'est-à-dire de la $n$-ème suite de résultats identiques, interrompue par le résultat contraire, comme dans l'exemple que j'ai donné..
    Ce sont des variables aléatoires à valeurs dans $\mathbb N^*$.

    $\bullet $ Loi de $X_{1}$.
    Pour tout $i\in \mathbb{N}^{\ast }$, on a : $P(X_{1}=i)=p^{i}(1-p)+(1-p)^{i}p$.

    $\bullet $ Loi conjointe du couple ($X_{1},X_{2})$.
    Pour tout $i\in \mathbb{N}^{\ast }$ et tout $j\in \mathbb{N}^{\ast }$, on a :
    $P([X_{1}=i]\cap \lbrack X_{2}=j])=p^{i}(1-p)^{j}p+(1-p)^{i}p^{j}(1-p)=p^{i+1}(1-p)^{j}+(1-p)^{i+1}p^{j}$.

    $\bullet $ Loi de $X_{2}$.
    Pour tout $j\in \mathbb{N}^{\ast }$, on a :
    $\displaystyle P(X_{2}=j)=\overset{+\infty }{\underset{i=1}{\sum }}P([X_{1}=i]\cap \lbrack
    X_{2}=j])=p^{2}(1-p)^{j-1}+(1-p)^{2}p^{j-1}$.

    $\bullet $ Covariance de $X_{1}$ et $X_{2}$.
    On a : $Cov(X_{1},X_{2})=-\frac{(2p-1)^{2}}{p(1-p)}$.
    Ce qui montre que si $p \neq \frac 12$ alors $X_1$ et $X_2$ ne sont pas indépendantes. On peut voir facilement qu'elles le sont si $p =\frac 12$.

    Et il y a pas mal d'autres choses à dire sur ce problème, en regardant les « séquences » suivantes.
    Notez que « blocs » ce n'est pas mal non plus comme terminologie...
    Bonne soirée.
    Fr. Ch.
  • raoul.S
    raoul.S
    @Chaurien les calculs montrent bien que si $p \neq \frac 12$ alors $X_1$ et $X_2$ ne sont pas indépendantes. Par contre je n'arrive pas à le voir intuitivement. C'est vraiment bizarre...

    Par exemple la probabilité d'avoir $X_2=1$ sachant $X_1=2$ est plus élevée que sachant $X_1=1$ :-S
  • Lucas
    Lucas
    Dans le cas asymétrique la connaissance de $X_1$ donne un indice sur s'il s'agit d'une suite de 0 ou de 1. Ça donne donc une information sur la longueur $X_2$.
  • raoul.S
    raoul.S
    Ah oui il est vrai que la connaissance de $X_1$ donne un indice sur s'il s'agit d'une suite de 0 ou de 1 à cause de l'asymétrie. Merci.
  • Chaurien
    Chaurien
    Je n'arrive pas non plus à voir intuitivement, comme tu dis, que la loi de $X_3$ est la même que celle de $X_1$. Mais ce n'est pas la première fois qu'un résultat est paradoxal.
  • Chaurien
    Chaurien
    On a aussi (sauf erreurs de calculs) :
    $E(X_{1})=\frac{p}{1-p}+\frac{1-p}{p} \ge2$, égalité ssi $p= \frac 12$ ;
    $V(X_{1})=\frac{p}{(1-p)^{2}}+\frac{1-p}{p^{2}}-2 \ge2$, égalité ssi $p= \frac 12$ ;
    $E(X_{2})=2$ ;
    $V(X_{2})=\frac{2p}{1-p}+\frac{2(1-p)}{p}-2=2E(X_1)-2 \ge2$, égalité ssi $p= \frac 12$.
    Toutes choses difficiles à « intuiter », surtout cette $E(X_{2})=2$, qui comme j'ai dit se transmet à toutes les $E(X_{2n})=2$.
    C'est vraiment un joli problème.
    Bonne soirée.
    Fr. Ch.
  • raoul.S
    raoul.S
    En effet que $E(X_{2})$ ne dépende pas de $p$ est étonnant !
  • aléa
    aléa
    Tout se retrouve facilement quand on a compris qu'on a un mélange de lois:
    $\mathbb{P}_{(X_n)_{n\ge 1}}=p(\mathcal{G}(q)\otimes \mathcal{G}(p))^{\otimes\N}+q(\mathcal{G}(p)\otimes \mathcal{G}(q))^{\otimes\N}$.
    Ainsi si $G_x\sim \mathcal{G}(x)$ avec $G_p$ et $G_q$ indépendantes, on a $\mathbb{E}(\phi(X_1,X_2))=p\mathbb{E}(\phi(G_q,G_p))+q\mathbb{E}(\phi(G_p,G_q))$.

    Par exemple $\mathbb{E}(X_2)=p\mathbb{E}(\mathcal{G}(p))+q\mathbb{E}(\mathcal{G}(q))=2$
  • malavita
    malavita
    Bonjour à tous,
    si tu as un moment alea pour développer un peu cette histoire de produit tensoriel, qui me semble un peu osbcur...

    J'imagine que
    $\mathcal{G}(q)$ est une loi géométrique de paramètre $q$
    $\mathbb{P}_{(X_n)_{n\ge 1}}$ la loi de la variable aléatoire $\omega \mapsto (X_n(\omega)),$ à valeurs dans $\Omega^{\mathbb{N}}$.
    Du coup le $\otimes \mathbb{N}$ doit être la généralisation du produit "tensoriel" au cas d'un produit de $\mathbb{N}$ termes.
    Par contre le terme $\mathcal{G}(q)\otimes \mathcal{G}(p)$ me laisse dubitatif...
    Bonne journée
    F.
  • aléa
    aléa
    Un mélange de lois est une combinaison barycentrique de lois (ici $p$ et $q$ sont les coefficients).
    Ces deux lois sont deux produits infinis, c'est-à-dire la loi d'une famille de variables indépendantes.
    Les deux alternent les deux mêmes lois (indices pairs, indices pairs), l'une commençant avec une loi géométrique, l'autre avec l'autre géométrique.
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