Calcul d'Espérance

wakasu75
wakasu75
dans Probabilités, théorie de la mesure
J'essaie de démontrer mathématiquement un résultat que j'ai approché informatiquement dans le cadre de la recherche d'une stratégie optimale dans un jeu, mais pour que ce soit plus simple à expliquer je vais reformuler le problème de probabilité que je rencontre.

Vous avez $c$ boites en cartons identiques et $b$ boules identiques avec $b<c$
Chaque boite contient soit une boule soit aucune boule (donc au plus $1$ boule)
Combien de boites faut-il vérifier en moyenne pour trouver TOUTES les boules?
Sachant évidemment que lorsqu'on vérifie une boite on peut l’écarter.

Le problème réside dans le fait que je n'arrive pas à voir quelle loi "connue" suit cette expérience étant donné que le fait d'écarter la boite change les probabilités suivantes et que donc les épreuves ne sont pas indépendantes.

Dans mon problème le calcul est plus concret car j'ai $c=100$ et $b=17$ et j'obtiens en moyenne environ $94$ ce qui est un résultat assez surprenant je trouve

Réponses

  • wakasu75
    wakasu75
    Le seul truc intelligent que je peux dire c'est que ce nombre est minoré par $b$ car on a nécessairement besoin de vérifier $b$ boites au minimum pour retrouver les $b$ boules (cas le plus chanceux) et majoré par $c$ car si on passe en revu toutes les boites on trouvera forcément toutes les boules
  • wakasu75
    wakasu75
    Est-ce que je ne pourrais pas calculer ça en faisant $K=\begin{pmatrix}c\\b\\\end{pmatrix}$ le nombre totales de tirages
    pour chaque sous-ensemble de $\{1,\ldots,c\}$ de taille $b$ je compte le nombre de fois que $i$ est le maximum c'est à dire $p_i=\text{card}\{$ sous-ensembles $p$ de $\{1,\ldots,c\}$ de taille $b$ tel que $\max{p}=i \}$.

    Au final ma moyenne serait $\frac{1}{K}\displaystyle \sum_{i=1}^c i.p_i$
  • wakasu75
    wakasu75
    Il me semble alors que d'après ce que j'ai défini plus haut j'ai $p_i=\begin{pmatrix}i-1\\b-1\\\end{pmatrix}$ , $\forall i\ge b$ sinon $p_i=0$

    Ainsi la moyenne que j'obtiens est $\frac{1}{\begin{pmatrix}c\\b\\\end{pmatrix}}\displaystyle \sum_{i=b}^c i.\begin{pmatrix}i-1\\b-1\\\end{pmatrix} $
  • aléa
    aléa
    Je trouve $\frac{(c+1)b}{b+1}$, c'est un peu plus que toi; je vais vérifier avec des simulations.
  • wakasu75
    wakasu75
    C'est intéressant, j'obtenais entre 94 et 95 donc ça s'approche de ce que tu dis en effet, pourrais-tu m'expliquer comment tu obtiens ce résultat ?
  • wakasu75
    wakasu75
    En tout cas après avoir calculé ma formule j'obtiens le même résultat que toi , mais bon j'ai l'impression d'avoir utilisé des tonnes et des tonnes pour un résultat qui était assez simple en fait donc je suis deçu :(
  • wakasu75
    wakasu75
    Nos deux formules sont égales mais je me demande comment tu as obtenu cette formule aussi simple
  • aléa
    aléa
    Si on note $T$ le numéro du carton avec la dernière boule, j'ai

    $E(T)=\sum_{k=0}^{c-1}P(T>k)= \sum_{k=0}^{c-1}(1-P(T\le k))=c-\sum_{k=0}^{c-1} P(T\le k)=c-\sum_{k=b}^{c-1} P(T\le k)$.
    On a $P(T\le k)=\frac{\binom{k}b}{\binom{c}{b}}$, comme $\binom{k}{b}=\binom{k+1}{b+1}-\binom{k}{b+1}$, on a une somme télescopique et ça donne le résultat voulu.
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