Équation de Fokker-Planck
Bonjour à tous
J'ai le résultat suivant, admis dans mon cours, et j'aimerais comprendre 2 ou 3 trucs ainsi qu'avoir une idée de la démonstration.
J'ai $\sigma$ et $b$ des fonctions mesurables et bornées, dépendantes uniquement de ma variable d'espace $x$ en 1 dimension.
Soit $X$ la solution de l'EDS $E(\sigma,b)$, et $f_t$ la loi de $X_t$.
Le théorème affirme que, $\forall \varphi \in \mathcal{C}^2_c(\mathbb{R})$, on a $$
\int\varphi(x) f_t(dx) = \int \varphi(x)f_0(dx) + \int_0^t \int \mathcal{L}\varphi(x)f_s(dx)ds,
$$ avec $\mathcal{L} f(x) = \dfrac{1}{2} \sigma^2 \partial^2_{x^2}f(x)+b(x)\partial_xf(x).$
Comment démontre-t-on ce résultat ?
Et le cours ajoute que on dit que $f_t$ est solution faible de l'équation $$
\partial_tf_t=\mathcal{L}^*f_t,
$$ avec $\mathcal{L}^*f(x)=\dfrac{1}{2} \partial^2_{x^2}(\sigma^2f)(x)-\partial_{x}(bf)(x).$
Et je ne suis pas sûr de comprendre le sens de cette deuxième formulation, ni pourquoi elle est vrai du coup.
Merci
J'ai le résultat suivant, admis dans mon cours, et j'aimerais comprendre 2 ou 3 trucs ainsi qu'avoir une idée de la démonstration.
J'ai $\sigma$ et $b$ des fonctions mesurables et bornées, dépendantes uniquement de ma variable d'espace $x$ en 1 dimension.
Soit $X$ la solution de l'EDS $E(\sigma,b)$, et $f_t$ la loi de $X_t$.
Le théorème affirme que, $\forall \varphi \in \mathcal{C}^2_c(\mathbb{R})$, on a $$
\int\varphi(x) f_t(dx) = \int \varphi(x)f_0(dx) + \int_0^t \int \mathcal{L}\varphi(x)f_s(dx)ds,
$$ avec $\mathcal{L} f(x) = \dfrac{1}{2} \sigma^2 \partial^2_{x^2}f(x)+b(x)\partial_xf(x).$
Comment démontre-t-on ce résultat ?
Et le cours ajoute que on dit que $f_t$ est solution faible de l'équation $$
\partial_tf_t=\mathcal{L}^*f_t,
$$ avec $\mathcal{L}^*f(x)=\dfrac{1}{2} \partial^2_{x^2}(\sigma^2f)(x)-\partial_{x}(bf)(x).$
Et je ne suis pas sûr de comprendre le sens de cette deuxième formulation, ni pourquoi elle est vrai du coup.
Merci
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Réponses
Pour la seconde, elle est vraie "avec les mains" en utilisant le fait que $\int L_t f(x) g(x) \,\mathrm{d}x = \int f(x) L_t^{*} g(x)\, \mathrm{d}x$ et réellement vraie si $f_t$ admet une densité assez régulière.