Convergence en loi... sans limite !

Je suppose que tu ne veux pas utiliser la tension ?

Salut,
"Simple" ça veut dire élémentaire ou bien rapide quitte à utiliser des gros théorèmes ?
Je tente un truc sans savoir si ça te conviendra. Si l'espace est $\Bbb R^n$ (je ne sais pas si c'est le cas, ça n'est pas précisé), alors la suite est tendue, car sinon $\limsup \Bbb E(\|X_n\|) =+\infty$ (juste en contredisant la définition). Donc la suite est tendue, et elle admet une valeur d'adhérence d'après le théorème de Prokhorov (ainsi que ses suites extraites...). Cette valeur d'adhérence est unique (les fonctions lipschiziennes sont denses dans $L^1$ ou tout autre argument convenable), donc $(X_n)$ converge.

Edit : Banach-Alaoglu (+ Riesz-Markov) permet de prouver Prokhorov, donc on reste dans la même histoire.

Cher Poirot, puisque tu parles du théorème de sélection de Helly, j'imagine que tes variables sont à valeurs réelles. Si c'est bien le cas, je te propose un truc ras des pâquerettes :

Pour tous $t \in \mathbb R$ et $\varepsilon > 0$, notons $\phi_{t,\varepsilon}$ la fonction constante sur $\left]-\infty;t\right]$ et sur $\left[t+\epsilon;+\infty\right[$ et telle que : $$\forall x\in [t;t+\epsilon],\ \phi_{t,\varepsilon}(x) = 1-(x-t)/\epsilon.$$

Alors il ne semble pas trop dur de montrer que la fonction
$$
F : t \longmapsto \inf_{\varepsilon > 0} \lim_{n\to\infty} E[\phi_{\varepsilon,t}(X_n)]
$$
est une fonction de répartition qui donne la loi limite.

Pour les limites en $-\infty$ et $+\infty$, on appliquera simplement l'inégalité de Markov aux $|X_n|$ (comme sous-entendu par Calli).

Cher Calli, c'est très exactement l'inégalité de Markov que tu viens d'écrire (et démontrer) :
$$
\mathbb P\left(X_n \notin \overline B(0,R/\varepsilon)\right)
\ =\
\mathbb P(\|X_n\| > R/\varepsilon)
\ \leqslant\ \frac{\varepsilon}{R}\mathbb E(\|X_n\|)
$$

La chose suivante ne marche pas ?

Soit $E$ l'espace de Banach des fonctions continues à support compact sur $\mathbb{R}$ à valeurs dans $\mathbb{R}$. $E$ est séparable [EDIT] Mais peu importe[/EDIT] et les fonctions lipschitziennes à support compact sont denses dedans. Pour toute v.a. $X$ sur $\mathbb{R}$, l'application $f \mapsto \mathbb{E}[f(X)]$ est linéaire continue positive, on la note $E_{X}$.
Soit $f$ une fonction continue à support compact. Montrons que la suite $(E_{X_n}(f))_n$ est convergente. Pour cela, montrons qu'elle est de Cauchy. Soit $\epsilon > 0$, soit $g$ lipschitzienne à support compact telle que $\Vert f - g \Vert_\infty < \epsilon/3$ et soit $N$ tel que pour tout $n,m > N$, $\vert E_{X_n}(g) - E_{X_m}(g) \vert < \epsilon/3$. Alors soient $n,m \geq N$. On a $\vert E_{X_n} - E_{X_m} \vert = \vert \mathbb{E}[f(X_n) - f(X_m)] \vert \leq \vert \mathbb{E}[f(X_n) - g(X_n)] \vert + \vert \mathbb{E}[g(X_n) - g(X_m)] \vert + \vert \mathbb{E}[g(X_m) - f(X_m)] \vert < \epsilon$. Donc la suite $(E_{X_n}(f))_n$ est convergente.

Posons, pour toute $f$ continue à support compact sur $\mathbb{R}$, $\lambda(f) := \lim_{n \to \infty} E_{X_n}(f)$. Alors $\mu$, comme limite simple de fonctions linéaires positives continues, est linéaire, positive et surtout continue (par le corollaire de Banach-Steinhaus).

Donc, d'après le théorème de Riesz, $\lambda$ est bien l'intégrale par rapport à une mesure $\mu$ sur $\mathbb{R}$, et si on pose $\mathbf{1}$ la fonction constante égale à $1$, alors on a $\mu(\mathbb{R}) = \lambda(\mathbf{1}) = \lim_{n \to \infty} E_{X_n}(\mathbf{1}) = \lim_{n \to \infty} 1 = 1$ donc c'est bien une mesure de probabilité.

EDIT : Remarque sur la séparabilité inutile et rajout du fait que la mesure obtenue est bien de proba.

@Poirot : Alors je ne suis pas sûr de savoir ce que tu entends par constructif. Voici quelque chose de certainement très constructif :-D : soit $(a_{i,n})_{(i,n) \in \{1,\cdots,r\} \times \mathbb{N}}$ une suite d'entiers et soit $(r_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une bonne suite de réels. Alors la loi de $X$ que tu cherches est la loi image de la loi uniforme sur $[0,1]^r$ par l'application $f$ qui, à tout $(t_1,\cdots,t_r)$ associe $f(t) := \displaystyle 2Re\left(\sum_{n \in \mathbb{N}} r_n e^{i2\pi \sum^r_{i=1} a_{i,n}t_i}\right)$. D'ailleurs si on pose, pour tout $(t_1,\cdots,t_r)$, $g(t) := \displaystyle \sum_{n \in \mathbb{N}} r_n e^{i2\pi \sum^r_{i=1} a_{i,n}t_i}$, le $(n_1,\cdots,n_r)$-ème coefficient de Fourier de $g$ est $\sum_{n \in \mathbb{N}} r_n \delta_{(n_1,\cdots,n_r) , (a_{1,n},\cdots,a_{r,n})}$. Mais bon.

Ah tu voudrais une convergence presque sûre ? Parce qu'en fait, je crois bien que ma $f$, c'est... ta $X$. Attention, il est tard, je m'expose à raconter des énormités. Si la somme qui définit $f$ converge dans $L^2$ (ce qui est vrai si la suite des $(r_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est de carré sommable), alors... elle converge presque partout, par le théorème de Carleson !

Désolé Poirot mais ce que je proposais ne fonctionne pas du tout : pour $n$ assez grand il faut s'attendre à ce que $Y_{n+1}$, et même $Z_1,\dots,Z_r$, soient entièrement déterminés par $Y_0,\dots,Y_n$ à moins de conditions très particulières sur le rang de $(a_{i,j})$. Les sommes partielles ne forment donc pas une martingale.

[Edit : je viens de voir que « en vérité mon r est infini a priori ». La martingale n'est donc peut-être pas à jeter ! Il faudrait en savoir plus sur les $(a_{i,j})$.]

À la réflexion pour ce que tu veux faire « manipuler $\sum_{n=0}^\infty Y_n$ comme une variable aléatoire avec des calculs algébriques », tu n'as peut-être pas besoin de la convergence presque sûre. La convergence en probabilité peut tout à fait suffire (et elle entraînerait la convergence p.s. pour des sous-suites). Elle découlerait directement de la convergence $L^2$ par exemple, mais je n'ai pas bien compris si tu en disposes.

[Edit : apparemment oui puisque tu écris que $\sum_{n\geq 0} E(Y_n^2)$ converge.]

Difficile de t'aider davantage sans connaître les $E(|Y_n|^2)$ ni les $(a_{i,j})$, mais je comprends bien que tu ne veuilles pas trop en dire. Tu peux me contacter par MP si tu préfères.