Convergence en loi d'un couple
Bonjour à tous. Pouvez-vous m'indiquer ce qui cloche dans la démonstration suivante ? Je lis des choses contradictoires en ligne.
Soit $(X_n)_{n \in \mathbb N}$ une suite de variables aléatoires indépendantes de $Y$, avec $(X_n)_{n \in \mathbb N}$ convergeant en loi vers $X$. Alors $((X_n, Y))_{n \in \mathbb N}$ converge en loi vers $(X, Y)$ et $X$ et $Y$ sont indépendantes.
Démonstration : Dans la suite, $\varphi_Z$ désigne la fonction caractéristique de $Z$. On a $\varphi((X_n, Y)) = \varphi_{X_n} \otimes \varphi_Y$ par indépendance, qui converge ponctuellement vers $\varphi_X \otimes \varphi_Y$, qui est en particulier continue en $0$. D'après le théorème de Lévy, $((X_n, Y))_{n \in \mathbb N}$ converge donc en loi, et c'est forcément vers $(X, Y)$ d'après le "continuous mapping theorem" puisque les projection sont continues. Finalement $\varphi((X, Y)) = \varphi_X \otimes \varphi_Y$ et donc $X$ et $Y$ sont indépendantes.
Merci d'avance pour vos réponses.
Soit $(X_n)_{n \in \mathbb N}$ une suite de variables aléatoires indépendantes de $Y$, avec $(X_n)_{n \in \mathbb N}$ convergeant en loi vers $X$. Alors $((X_n, Y))_{n \in \mathbb N}$ converge en loi vers $(X, Y)$ et $X$ et $Y$ sont indépendantes.
Démonstration : Dans la suite, $\varphi_Z$ désigne la fonction caractéristique de $Z$. On a $\varphi((X_n, Y)) = \varphi_{X_n} \otimes \varphi_Y$ par indépendance, qui converge ponctuellement vers $\varphi_X \otimes \varphi_Y$, qui est en particulier continue en $0$. D'après le théorème de Lévy, $((X_n, Y))_{n \in \mathbb N}$ converge donc en loi, et c'est forcément vers $(X, Y)$ d'après le "continuous mapping theorem" puisque les projection sont continues. Finalement $\varphi((X, Y)) = \varphi_X \otimes \varphi_Y$ et donc $X$ et $Y$ sont indépendantes.
CQFD
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Réponses
Le 2e théorème de Levy n'est utile que quand la loi limite est inconnue, ce qui n'est pas le cas ici puisque c'est une loi produit.
Je vais manger, je préciserai après si besoin.
Sur mathstack j'ai lu des choses partiellement contradictoire. Dans Probabilités pour les non probabilistes, W. Appell montre la même chose en supposant $X$ et $Y$ indépendantes (alors que dans mon problème c'est exactement la conclusion à laquelle je veux aboutir).
Le "continuous mapping theorem" c'est peut-être "si $T_n \xrightarrow[]{\rm loi} T$ et $f$ est continue, alors $f(T_n) \xrightarrow[]{\rm loi} f(T)$" ? Avec en l'occurence $T_n = (X_n,Y)$, $T$ la limite en loi de $(X_n,Y)$ donnée par Lévy (version 2) et $f =\pi_i$ la projection sur la $i$-ième coordonnée ($i\in\{1,2\}$). Mais alors ça donne $\pi_1(T) \sim X$ et $\pi_2 (T)\sim Y$ et absolument pas $T\sim(X,Y)$ puisque les lois marginales ne donnent pas la loi du couple ($\sim$ signifient "ils ont la même loi"). Donc je trouve ça bizarre.
Il me semble que ce qu'on peut dire c'est $\varphi_{(X_n,Y)} = \varphi_{X_n} \otimes \varphi_Y \longrightarrow \varphi_X \otimes \varphi_Y = \varphi_Z$ où les coordonnées de $Z$ ont les lois respectives de $X$ et $Y$ et sont indépendantes (autrement dit la loi de $Z$ est le produit des lois de $X$ et $Y$). Donc d'après Lévy (version 1) $(X_n,Y) \xrightarrow[]{\rm loi} Z$. Si on sait que $X$ et $Y$ sont indépendantes, alors $(X,Y) \sim Z$ donc $(X_n,Y) \xrightarrow[]{\rm loi} (X,Y)$.
Après je ne suis pas un expert en probas...
Edit: Je précise mes versions de Lévy.
Lévy version 1 : $\varphi_{X_n }\to \varphi_X \Longrightarrow X_n \xrightarrow[]{\rm loi}X$.
Lévy version 2 : $\varphi_{X_n }\to \varphi$ et $\varphi$ est continue en 0 $ \Longrightarrow \exists$ v.a. $X, X_n \xrightarrow[]{\rm loi}X$ et $\varphi_X=\varphi$.
Conclusion : l'hypothèse $X$ et $Y$ sont indépendantes est indispensable.
$\phi_{X_n,Y}(s,t)=\phi_{X_n}(s)\phi_Y(t)\to \phi_{X}(s)\phi_Y(t)=\phi_{P_X\otimes P_Y}(s,t)$, donc d'après le théorème de Levy $P_(X_n,Y)$ converge vers $P_X\otimes P_Y$.
Mais, tu as raison, la suite n'est pas bien claire, je ne vois pas bien pourquoi cette loi coïnciderait avec celle du couple $(X,Y)$. J'y réfléchis.
Euh... bah si justement j'ai dit "l'hypothèse $X$ et $Y$ sont indépendantes est indispensable".