Loi du maximum de $L$ variables de Poisson
Bonjour à tous,
Je bloque sur un énoncé d'un problème posé à l'oral d'agrégation en proba/stats. J'ai passé pas mal de temps sur la démonstration d'une proposition mais je bloque sur la dernière étape, si quelqu'un pouvait me mettre sur la piste ça serait génial.
J'ai démontré la proposition 1 et mon but est de démontrer la proposition 2 en suivant les indications du texte. Je pense que la première convergence résulte directement de la loi forte des grands nombre, c'est la deuxième convergence à montrer qui me pose soucis.
Si j'ai bien réussi à montrer que $H_N$ était le maximum de $L$ variables aléatoires iid de Poisson de paramètre $ \frac{\lambda}{L}$, dans le texte il est dit qu'alors la loi de $H_N$ devient plus simple. Or vu la fonction de répartition de la loi de Poisson, je ne vois pas comment je déduis simplement la loi de $H_N$ ainsi...
Merci d'avance,
Thenes
Je bloque sur un énoncé d'un problème posé à l'oral d'agrégation en proba/stats. J'ai passé pas mal de temps sur la démonstration d'une proposition mais je bloque sur la dernière étape, si quelqu'un pouvait me mettre sur la piste ça serait génial.
J'ai démontré la proposition 1 et mon but est de démontrer la proposition 2 en suivant les indications du texte. Je pense que la première convergence résulte directement de la loi forte des grands nombre, c'est la deuxième convergence à montrer qui me pose soucis.
Si j'ai bien réussi à montrer que $H_N$ était le maximum de $L$ variables aléatoires iid de Poisson de paramètre $ \frac{\lambda}{L}$, dans le texte il est dit qu'alors la loi de $H_N$ devient plus simple. Or vu la fonction de répartition de la loi de Poisson, je ne vois pas comment je déduis simplement la loi de $H_N$ ainsi...
Merci d'avance,
Thenes
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Réponses
À te lire j'ai un doute sur ta compréhension du texte. Attention, la variable $H_n$ de la Proposition 2 n'est pas le maximum de $L$ variables aléatoires de Poisson. La convergence de $\frac1n H_n$ lorsque $n \to \infty$ découle en fait directement de celle de $\frac1n(Y_{0,n},\dots,Y_{L-1,n})$ par continuité de la fonction $(x_1,\dots,x_L) \mapsto \max(x_1,\dots,x_L)$.
D'ailleurs, je ne pense pas que l'introduction de la variable de Poisson $N$ et la discussion sur $H_N$ soient là pour aider à démontrer la Proposition 2, mais c'est difficile à affirmer sans voir la suite du texte.
C'est donc juste cela alors. Effectivement j'ai du mal avec ce texte, cependant je ne comprends pas alors pourquoi $H_N$ a été introduit ici. Peut être que je dois juste passer outre ce passage. Le texte est disponible en entier sur le site de l'agrégation si celà vous intéresse : https://agreg.org/Textes/public2015-A4.pdf