Loi normale

r.k95
r.k95
dans Probabilités, théorie de la mesure
En cherchant des exercices sur les vecteurs gaussiens, j'ai trouvé le problème suivant, en mentionnant qu'il est extrait de ce livre.
Malheureusement, je ne possède pas ce livre, et je ne peux pas aller à la bibliothèque universitaire. Je serais reconnaissant si quelqu'un a une méthode pour le résoudre ou si vous avez accès au livre ci-dessus.

Soit $X$ et $Y$ deux v.a.r.i.i.d de variance $\sigma^2.$ Soit $\alpha,\beta \in \mathbb{R},$ tels que $\alpha \beta \neq 0,\ \alpha^2+\beta^2=1.$ On suppose que $\alpha X+\beta Y$ et $X$ ont les mêmes lois. Prouver alors que $X,Y$ suivent une loi gaussienne $N(0,\sigma^2).$

Essai : en utilisant les fonctions caractéristiques, et par récurrence j'ai pu vérifier que $$\forall x \in \mathbb{R},\quad \prod_{k=0}^n(\varphi_X(\alpha^k \beta^{n-k}x))^{C^k_n}=\varphi_X(x).

$$ Remarque : dans le cas où $\alpha=\frac{1}{\sqrt{2}},$ on peut utiliser le théorème central limite, pour trouver le résultat, mais dans le problème ci-dessus, on considère une généralisation.

Merci d'avance pour vos efforts.

Réponses

  • P.
    P.
    Je simplifie un peu en supposant $X$ symetrique, cas auquel on doit pouvoir se ramener. Et je pose $\alpha=\cos a$ avec $a$ pas multiple de $\pi/2.$ Dans un voisinage de zero la fonction caracteristique est positive et je pose $R(u)=\log \varphi(u^2)$ avec l'intention de montrer que $R$ est lineaire. De plus $R$ est deux fois derivable car il y a une variance. En utilisant ton idee d'iteration on a
    $$R''(u)=\sum_{k=0}^nC^k_n(\cos a)^{4k}(\sin a)^{4(n-k)}R''((\cos a)^{2k}(\sin a)^{2(n-k)}u)$$ et comme $|R''|$ est bornee dans un intervalle contenant $0$ par quelque constante $K$ on a $$|R''(u)|\leq K\sum_{k=0}^nC^k_n(\cos a)^{4k}(\sin a)^{4(n-k)}=K(\cos^4 a+\sin^4 a)^n\to_{n\to 0}0$$ ce qui fait que $R$ est nul au voisinage de 0.
  • r.k95
    r.k95
    je pense que j'ai trouvé problème similaire,

    Pour la premiè question, c'est simple puisque $\phi$ est de classe $C^2$, et on a $E[X]=0$ puisque $a+b \neq 1,$ alors $\psi(0)=0, \psi'(0)=-\sigma^2$
    Pour la deuxième question, on a $\forall x \in \mathbb{R},\phi(ax)\phi(bx)=\phi(x),$ d'où $a\phi'(ax)\phi(bx)+b\phi(ax)\phi'(bx)=\phi'(x)$ et $a^2\phi''(ax)\phi(bx)+2ab\phi'(ax)\phi'(bx)+b^2\phi(ax)\phi''(bx)=\phi''(x),$ enfin $$a^2E[\psi'(ax)]+b^2E[\psi'(bx)]=\frac{a^2\phi''(ax)\phi(bx)\phi(x)-a^2(\phi'(ax)\phi'(bx))^2+b^2\phi''(bx)\phi(ax)\phi(x)-b^2(\phi'(bx)\phi'(ax))^2}{(\phi(ax)\phi(bx))^2}
    $$$$=\frac{\phi''(x)\phi(x)-(\phi'(x))^2}{(\phi(x))^2}=\psi'(x)$$

    Je trouve une difficulté à la question 3), La question 4) découle immédiatement .

    Avez-vous des idées pour la question 3), comment vérifier que $E[\psi'(Zt)]=-\sigma^2$?99916
    exo.png 37.3K
  • r.k95
    r.k95
    S'il vous plaît pouvez-vous m'aider pour déduire le résultat, en suivant les étapes de l'exercice, j'ai réussi à conclure que $$\psi'(x)=\sum_{k=0}^nC^k_n \alpha^{2k} \beta^{2(n-k)} \psi'(\alpha x) \psi'(\beta x)=E[\psi'(x\prod_{k=0}^nX_k)],$$ où $(X_n)_n$ est une suite de v.a.r.i.i.d de même loi que $W,$ en notant que $\prod_{k=0}^nX_k$ converge en probabilité vers $0,$ ce qui signifie que par continuité de $\psi'$ que $\psi'(x\prod_{k=0}^nX_k)$ converge en probabilité vers $-\sigma^2.$ Il reste à vérifier que son espérance converge vers $-\sigma^2$.
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