Loi uniforme
Bonjour,
Comment pourrais-je montrer qu'une variable X suit une loi uniforme sur un certain intervalle ([-2;2]) par exemple ?
Comment pourrais-je montrer qu'une variable X suit une loi uniforme sur un certain intervalle ([-2;2]) par exemple ?
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Réponses
Tu n'as vraiment que ça ?
Il y a aussi cette approche qui conviendra peut-être à ceux dont les connaissances en probabilité ne vont guère au-delà de $\Pr(A)=\dfrac {\text{Card}A}{\text{Card}\Omega } .$
Soit $(X_n)_n$ une suite de variables aléatoires indépendantes telle que $\forall n \in \N^*, \:\Pr [X_n=1] =\Pr \left[X_n = -1 \right ] =\dfrac 12, \:\:\: X =2 \displaystyle \sum _{k=1}^{+\infty} \dfrac {X_k}{2^k}.$
Il est demandé de prouver que $ X \hookrightarrow \mathcal U ([-2;2]).\quad$
Soit $Y_n = \dfrac {1+X_n}2, \quad Y =\displaystyle \sum _{k=1}^{+\infty} \dfrac {Y_k}{2^k}.\quad $ Alors :$\:\: X= 2(2Y-1)\:\:$ et il suffit donc d'établir que: $\:\: Y \hookrightarrow \mathcal U ([0;1]).\:$
Il est clair que $ \forall k \in \N^*, Y_k \in \{0;1\},\:\:$ et que $Y\: \in [0;1].$
On introduit $\mathcal D= \left \{ \dfrac p {2^k} \mid p,k \in \N \right \} \cap [0;1].\quad $ Soit $\:y\in \mathcal D\setminus \{1\}. \:\:\exists n \in \N^*, \:\:(a_1,a_2,\dots a_n) \in \{0 ,1\}^n\:\:$ tels que $ y= \displaystyle \sum _{k=1} ^n \dfrac {a_{k}}{2^k}.$
Alors $F(y) := \displaystyle \Pr [Y<y] = \Pr \left[\sum _{k=1} ^n \dfrac {Y_k} {2^k} < \sum _{k=1} ^n \dfrac {a_{k}}{2^k}\right ]= \dfrac { \# \left\{(y_1,y_2 ,\dots y_n) \in \{0;1\}^n \mid \sum_{k=1}^n 2 ^{n-k}y_k < 2^n y\right\}}{ \# (\{0;1\}^n)} = \dfrac {2^n y}{2^n} = y.$
Ainsi: $ \forall y \in \mathcal D\setminus \{1\}, \: F(y) = y, \: \:\mathcal D $ est dense dans $ [0;1], \:\: F \:$ est croissante dans $[0;1]$. Il résulte de tout cela que: $\:\forall y \in [0;1] ,\:\:\: F(y)=y.$
$$ \boxed{\forall y \in [0;1] , \:\: \Pr [Y \leqslant y ] = y, \qquad Y \hookrightarrow \mathcal U ([0;1]).} $$
Dernière question après je n'embête plus.
Comment montrer que la variable A définie sur la photo est uniforme sur [-2;2] ?
Les R_i sont des VA iid suivant une [large]R[/large]ademacher(1/2)
Bon courage à tous.
[Hans Adolph Rademacher (1892-1969) prend toujours une majuscule. AD]