Lois conditionnelles par rapport à une tribu

1°) Si $(\Omega,\mathcal A,P)$ est un espace probabilisé et $\mathcal B$ est une sous tribu de $\mathcal A$ alors l'identité $I:(\Omega,\mathcal A,P) \to (\Omega,\mathcal B,P)$ (qui à $x\in \Omega$ fait correspondre $x$ lui-même) est mesurable et la tribu engendrée par $I$ est exactement $\mathcal B$.

2°) L'ensemble des $f\in L^2(\Omega,\mathcal A,P)$ telles qu'il existe $g$ $\mathcal B$-mesurable telle que $f$ est la classe de $g$ pour la relation d'équivalence presque partout est un sous-espace vectoriel fermé de l'espace de Hilbert $L^2(\Omega,\mathcal A,P)$ (qu'on identifiera désormais à $L^2(\Omega,\mathcal B,P))$ vu que le plongement est injectif). La projection orthogonale de $L^2(\Omega,\mathcal A,P)$ dans $L^2(\Omega,\mathcal B,P)$ s'appelle espérance conditionnelle par rapport à $\mathcal B$ et pour tout $X\in L^2(\Omega,\mathcal A,P)$, sa valeur en $X$ se note $E(X|\mathcal $. On a immédiatement pour tout $(X,Y) \in L^2(\Omega,\mathcal A,P)\times L^2(\Omega,\mathcal B,P) $, $$E(XY) = E\left(E(X|\mathcal Y\right ) \tag i $$ et $E(X|\mathcal $ est la seule variable aléatoire $\mathcal B$-mesurable $L^2$ à vérifier cette propriété, par application des propriétés des projections dans un espace de Hilbert.

3°) Rappelons que comme la mesure $P$ est finie, $L^2(\Omega,\mathcal A,P)$ (resp. $L^2(\Omega,\mathcal B,P)$) se plonge dans $L^1(\Omega,\mathcal A,P)$ (resp. $L^1(\Omega,\mathcal B,P)$; utiliser pour cela l'inégalité de Cauchy-Schwarz). Soit $X\in L^2(\Omega,\mathcal A,P)$ et $u:\Omega \to \R$ un représentant de $E(X|\mathcal $. Soit $s:\omega \in \Omega \mapsto 1$ si $u(\omega) \geq 0$ et $-1$ si $u(\omega)<0$. Alors $s$ est $\mathcal B$-mesurable et bornée (donc $L^2$) et $$E\left ( |E(X|\mathcal | \right ) = E(E(X|\mathcal s) = E(Xs) \leq E(|X|) \tag{ii}$$ par suite, l'application $E(...|\mathcal $ est $1$-lipschitzienne de $L^2(\Omega,\mathcal A,P)$ (muni de la norme $L^1$) dans $L^1(\Omega,\mathcal B,P)$ (muni de sa norme $L^1$) et comme $L^2(\Omega,\mathcal A,P)$ est dense (il contient toutes les fonctions étagées) dans $L^1(\Omega,\mathcal A,P)$, $E(...|\mathcal $ admet un unique prolongement par continuité en une application linéaire de $L^1(\Omega,\mathcal A,P)$ dans $L^1(\Omega,\mathcal B,P)$, à nouveau notée $E(...|\mathcal $ et qui est telle que pour toute fonction $Z:\Omega \to \R$ $\mathcal B$-mesurable et bornée, on a l'égalité $$E\left(E(X|\mathcal Z\right) = E(XZ)\tag {iii}$$ Pour montrer $(iii)$, il suffit de remarquer que lorsque $X$ est $L^2$ cette égalité est un cas particulier de $(i)$ puis raisonner par densité pour le cas général.

4°) Il y a unicité (à un ensemble de probabilité nulle près) de l'espérance conditionnelle définie ci-dessus, en ce sens que pour tout $X\in L^1(\Omega,\mathcal A,P)$ et tout $U\in L^1(\Omega,\mathcal B,P)$, $U=E(X|\mathcal $ si et seulement si $E(U\mathbf 1_{M}) = E(X\mathbf 1_{M})$ pour tous $M\in \mathcal B$. En effet le sens direct est un cas particulier de l'égalité $(ii)$ du 3°) ci-dessus. Pour la réciproque, soient $C:=\{\omega \in \Omega \mid U(\omega) \leq E(X|\mathcal (\omega)\}$ et $D:=\{\omega \in \Omega \mid U(\omega) > E(X|\mathcal (\omega)\} = \Omega \backslash C$. Alors $$
\begin{align}
E \left ( |E(X|\mathcal - U| \right )& = E \left ( [E(X|\mathcal - U| ] \mathbf 1_C \right ) - E \left ( [E(X|\mathcal - U| ] \mathbf 1_D \right ) \\ & = E\left ( E(X|\mathcal \mathbf 1_C\right ) - E(U\mathbf 1_C) - E\left ( E(X|\mathcal \mathbf 1_D\right ) + E(U\mathbf 1_D) \\
& = E(X \mathbf 1_C) - E(U \mathbf 1_C) - E(X \mathbf 1_D) + E(U \mathbf 1_D) \\
& = 0
\end{align}
$$ d'où le résultat.

5°) Les formules reliant l'espérance conditionnelle à une "vraie" intégrale (par rapport à une "loi conditionnelle") passent par de la désintégration et sont plus délicates à obtenir.

C'est Foys la 1ère réponse.

Concernant ma réponse, je ne connais pas de référence qui synthétise ces résultats. On doit pouvoir les prouver à l'aide de ces références:

- Borkar, Probability Theory: An Advanced Course

- Crauel, Random probability measures on Polish spaces

- Kallenberg, Random measures

Hélas, Crauel fait souvent référence à un livre écrit en allemand.

Par ailleurs, j'ai dit "topologie faible", mais c'est "topologie étroite". Je ne sais pas si ces deux topologies coïncident pour un polonais ?

J'ai une question liée à ces histoires. Soit $E$ un espace topologique avec sa tribu borélienne, et $\Pr(E)$ l'espace des probabilités sur $E$ muni de la topologie étroite : la plus petite topologie telle que $\mu \mapsto \int f \mathrm{d}\mu$ est continue pour toute $f\colon E \to \mathbb{R}$ continue et bornée. On prend la tribu borélienne sur $\Pr(E)$ pour cette topologie. Soit $(\Omega, \mathcal{A})$ un espace mesurable et $\nu\colon \Omega \to \Pr(E)$. Est-ce que $\nu$ est mesurable si et seulement si $\omega \mapsto \int f \mathrm{d}\nu(\omega)$ est mesurable pour toute $f\colon E \to \mathbb{R}$ continue et bornée ? Je pense que oui mais je ne sais plus comment on démontre ça.

@alea,

Kallenberg aussi justifie avec un tel lemme que les mesurabilités des $\omega \mapsto \int f \mathrm{d}\nu(\omega)$ impliquent la mesurabilité de $\omega \mapsto \nu(\omega)$, mais je n'ai pas compris comment on déduit cette implication de ce lemme.

Si $E$ est métrique et $(\mathcal{C}^0_b(E,\Bbb R),\|.\|_\infty)$ est séparable, je pense que la propriété est vraie. Peut-être que $\mathcal{C}^0_b(E,\Bbb R)$ est séparable lorsque $E$ est polonais, ou éventuellement localement compact (?). En tout cas, c'est clairement le cas si $E=\Bbb R^n$, ce qui est déjà pas mal. J'essaierai d'y réfléchir plus tard.

Victor a écrit:

mais la notion de droite longue est vraiment très drôle je trouve !

Je suis d'accord ! (:D

Victor a écrit:

Mais alors ça résout la question de la définition de la loi conditionnelle d'une variable aléatoire par-rapport à une tribu !

Je n'en suis pas convaincu. Comment fais-tu avec ça ?

Je ne suis pas sûr de comprendre ta question. J'ai un peu oublié ce qu'on appelle le théorème de Jirina, mais si mes souvenirs sont bons, le théorème de Jirina n'est rien d'autre que théorème général dans le cas où la tribu est engendré par un vecteur aléatoire, et là le caractère polonais de tout le toutim (très important) est gratuit.

Mais va voir mon livre, ou à défaut les versions préliminaires dans mes cours de M1.

J'ai écrit une erreur dans ma première remarque. Je viens de la corriger. Ce que j'ai fait ne marche en fait pas pour $\Bbb R^d$ (mais ça marche pour les compacts et peut-être un peu plus). C'est décevant. Donc la question reste ouverte.

Raoul, il y a un hic. $\cal B$ engendre la topologie de $\mathrm{Pr}(E)$ qui elle-même engendre la tribu borélienne de $\mathrm{Pr}(E)$, mais ça ne veut pas dire que $\cal B$ engendre la tribu de $\mathrm{Pr}(E)$ car certains ouverts de $\mathrm{Pr}(E)$ peuvent être des unions indénombrables d'éléments de $\mathrm{Pr}(E)$. Tu vois ? C'est le cas dans mon contre-exemple avec la longue droite ci-dessus. Et même si $\mathrm{Pr}(E)$ est à base dénombrable, on ne sait pas si on peut imposer que les éléments de cette base soient dans $\cal B$.

Ceci est-il correct ?

D'après Borkar,
$$
\Bigl\{Q \mid \bigl|Q(f_i)-P(f_i)\bigl| < \epsilon_i, i = 1,\ldots,k\Bigr\},
\quad f_i \in C_b(E), \epsilon_i > 0
$$
est une base locale en $P \in \Pr(E)$ de la topologie étroite lorsque $E$ est polonais.

En outre, $\Pr(E)$ est séparable, donc il est Lindelöf. Donc tout ouvert de $\Pr(E)$ est une réunion dénombrable de $\Bigl\{Q \mid \bigl|Q(f_i)-P(f_i)\bigl| < \epsilon_i, i = 1,\ldots,k\Bigr\}$.

Si les $\omega \mapsto \nu_\omega(f)$ pour $f \in C_b(E)$ sont mesurables, $\Bigl\{\omega \mid \bigl|\nu_\omega(f_i)-P(f_i)\bigl| < \epsilon_i, i = 1,\ldots,k\Bigr\}$ est mesurable. On a donc $\nu_\omega^{-1}(O)$ mesurable pour tout ouvert $O$ de la topologie étroite. Donc $\nu$ est mesurable.

Attention il faut savoir que je suis devenu une buse en topologie.

Les $\Bigl\{Q \mid \bigl|Q(f_i)-P(f_i)\bigl| < \epsilon_i, i = 1,\ldots,k\Bigr\}$ couvrent $\Pr(E)$ lorsque $P$ parcourt $\Pr(E)$. Comme $\Pr(E)$ est Lindelöf, on peut prendre $P$ qui parcourt une partie dénombrable de $\Pr(E)$. Ce n'est pas correct ?

Hmm, et si je dis qu'un sous-ensemble fermé d'un Lindelöf est Lindelöf, n'ai-je pas ce résultat pour tout fermé ? Ou je dis encore n'importe quoi ?

Je suis perdu. Une dernière tentative. Et si je dis qu'un Lindelöf métrique est fortement Lindelöf, i.e. toute partie ouverte est Lindelöf ?

Cool (tu)

Montrons maintenant que $\nu$ est un noyau de transition si et seulement $\nu$ est une probabilité aléatoire, mesurable pour la tribu borélienne associée à la topologie étroite.

Supposons que $\nu$ est une probabilité aléatoire. Alors $\omega \mapsto \nu_\omega(f)$ est mesurable pour toute fonction $f \in C_b(E)$. Tout fermé de $E$ peut s'écrire comme limite monotone de fonctions dans $C_b(E)$, donc $\omega \mapsto \nu_\omega(F)$ est mesurable pour tout fermé $F$ de $E$. L'ensemble $$\bigl\{A \in \mathcal{B}(E) \mid \omega \mapsto \nu_\omega(A) \text{ est mesurable}\bigr\}$$ est un système de Dynkin. Il contient les fermés donc il est égal à la tribu borélienne $\mathcal{B}(E)$.

Supposons que $\nu$ est un noyau de transition. L'ensemble $$\bigl\{f \colon E \to \mathbb{R} \mid \omega \mapsto \nu_\omega(f) \text{ est mesurable}\bigr\}$$ est un espace vectoriel qui contient $\mathbf{1}_A$ pour tout $A \in \mathcal{B}(E)$. Toute fonction continue et bornée est la limite simple et dominée d'une combinaison linéaire de $\mathbf{1}_A$. Donc l'ensemble en question contient $C_b(E)$.

Est-ce correct ?

Pour en revenir au sujet initial de Victor, j'ai une question naïve pour les spécialistes.

J'aurais envie de dire que la loi conditionnelle de $X$ sachant $\mathcal B$ existe toujours : c'est bêtement la fonction $\mu$ définie sur $\mathcal E$ par $H \mapsto \mathbb E(\mathbf 1_{X \in H} \mid \mathcal $. On ne sait pas a priori si on peut voir $\mu$ comme une variable aléatoire à valeurs dans $\Pr(E,\mathcal E)$, muni d'une tribu idoine, mais est-ce-si grave ?

De base $\mu$ est une fonction de $\mathcal E$ dans $L^0((\Omega,\mathcal ;\R^+)$, qui vérifie $\mu(E) = 1$ et la $\sigma$-additivité pour l'égalité presque sûre. J'ai l'impression que la théorie de l'intégration se généralise sans problème à de telles « mesures à valeurs aléatoires » avec la construction habituelle via les fonctions étagées et qu'on retrouve bien, pour toute fonction mesurable bornée $h : E \to \mathcal \R$, l'égalité
$$
\int_E h\, d\mu \ = \ \mathbb E(h(X) \mid \mathcal .
$$
Cette extension me semble naturelle et beaucoup moins coûteuse que l'ajout d'hypothèses topologiques sur $(E,\mathcal E)$. Il doit donc y avoir de bonnes raisons de vouloir travailler mesurablement dans $\Pr(E,\mathcal E)$. Mais quelles sont-elles ?

Merci pour ces exemples très intéressants Saturne ! Je n'avais jamais eu l'occasion de réfléchir à cette tribu.