Limite d'une suite à l'infini

Bonjour
Ce dénominateur s'appelle le nième nombre harmonique et se note $H_n$:
on montre facilement que $\int _1^{n+1}\frac {1}{t}dt \leq H_n\leq 1+\int _1^{n}\frac {1}{t}dt$

Méthode des rectangles avec pas de 1 pour l'intégrale.

Cordialement.

Utilise que $\frac{1}{n+1} \leq \frac{1}{t} \leq \frac{1}{n}$ pour $n \in \mathbb N^*$ et $t \in [n, n+1]$, puis intègre en $t$ et somme sur $n$.

La « méthode des rectangles » c'était quand j'étais petit une dite « méthode » pour calculer numériquement la valeur approchée d'une intégrale entre deux bornes, qu'on appelait « intégrale définie », méthode particulièrement peu efficace d'ailleurs. Ce n'est pas de ça qu'il s'agit ici.

La clé de la question c'est que si $f$ est une fonction réelle décroissante sur un intervalle $I$, si $k \in I$ et si $k+1 \in I$ , alors :
$\displaystyle f(k+1)\leq \int_{k}^{k+1}f(t)dt\leq f(k)$.
On le voit sur la figure : trapèze mixtiligne coincé entre deux rectangles, et ça se démontre, nous ne sommes pas dans les mathématiques exotiques archaïques prenant monstration pour démonstration. Ça se démontre sans mal.
Supposons la fonction réelle $f$ décroissante sur un intervalle $[a,+\infty \lbrack $ avec $a\in \mathbb{N}$, soit pour $n\in \mathbb{N}$, $n \ge a$ :
$ \displaystyle S_{n}=\underset{k=a}{\overset{n}{\sum }}f(k)$ et $\displaystyle J_{n}=\int_{a}^{n}f(t)dt$. Alors par sommation de la double inégalité précédente, il vient : $S_{n}-f(a)\leq J_{n}\leq S_{n}-f(n)$.
Si de plus $f$ est positive, il en résulte : $S_{n}=J_{n}+C+o(1)$ quand $n\rightarrow +\infty $, où $C$ est une constante réelle.
Ici $a=1$, et $f(x)= \frac 1x$, et alors $\displaystyle S_{n}=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum }} \frac1k =H_n$, et $J_n=\ln n$, et $C=\gamma$, constante d'Euler (ou d'Euler-Mascheroni pour notre sœur latine).

Bonne nuit.
Fr. Ch.
30/05/2020

Cher Shadows Asgard, je tente un peu de divination : je crois que tu connais (sans refaire la démonstration) la nature de la série $\sum_{k\geq 1} \frac1k$ et la limite de ses sommes partielles $\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac1k$.

J'avais cru comprendre qu'il s'agissait de trouver la limite de $\displaystyle H_{n}=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum }} \frac1k $. Comme ça ne coûte pas plus cher de remplacer $x \mapsto \frac 1x$ par n'importe quelle fonction décroissante positive, j'ai préféré traiter ce cas général, qui peut se révéler utile par ailleurs.

Le théorème que j'ai énoncé et démontré est très simple, il convient pour la comparaison série-intégrale, mais il peut s'énoncer et se démontrer sans référence à la notion de série. C'est le théorème suivant.
Soit une fonction $f$ définie sur un intervalle $[a,+\infty \lbrack $ avec $a\in \mathbb{N}$, à valeurs réelles, décroissante et positive, et soit pour $n\in \mathbb{N}$, $n \ge a$ : $ \displaystyle S_{n}=\underset{k=a}{\overset{n}{\sum }}f(k)$ et $\displaystyle J_{n}=\int_{a}^{n}f(t)dt$. Alors : $S_{n}=J_{n}+C+o(1)$ quand $n\rightarrow +\infty $, où $C$ est une constante réelle.
J'ai indiqué la démonstration, j'ai seulement laissé le lecteur trouver lui-même que la suite $\delta_n=S_n-J_n$ est décroissante et positive, ce qui découle de la double inégalité donnée précédemment.

Ceci ne demande pas plus que le bagage mathématique d'ECE - 2020, peut-être même de Terminale.

Si l'on dispose d'une théorie de l'intégration qui intègre les fonctions monotones, alors ce théorème s'énonce tout cru comme ci-dessus, mais dans le cas contraire, on impose à $f$ une hypothèse complémentaire qui donne uns sens à son intégrale $J_n$, comme « continue » ou « continue par morceaux », c'est dommage mais pour les applications, ce n'est pas grave.

Du point de vue méthodologique-heuristique, je signale qu'il est bon de garder en mémoire la figure que j'ai jointe (même moche), avec son trapèze mixtiligne coincé entre deux rectangles, qui peut se révéler utile même pour une fonction croissante, pour donner un encadrement, en vue de la sommation ultérieure.

Pour en revenir à la question posée, ceci prouve que $H_{n}= \ln n+ \gamma+o(1)$ quand $n\rightarrow +\infty $, ce qui répond, me semble-t-il, et avec plus de précision.

Bonne journée.
Fr. Ch.
01/06/2020
(Lundi de Pentecôte)