Somme de deux lois uniformes différentes

arthurronda · May 2020

Bonjour

Comment calculer la densité de la somme de deux lois uniformes (une sur [-2;2], une sur [-2/3;2/3]) en l’occurrence) svp ?
J'ai vu quelque chose avec le produit de convolution mais je n'arrive pas à l'appliquer du coup.

Merci par avance.
AR

Poirot · May 2020

Pourtant tu dois savoir que la densité de la somme de deux variables aléatoires à densité est la convolée de ces deux densités. Tu n'as plus qu'à calculer cette convolution dans ce cas.

aléa · May 2020

Ouais, c'est assez suant.
Bon, mais si tu connais la méthode, c'est sans doute juste que tu te trompes dans les calculs.
Tu devrais peut-être d'abord essayer un peu moins calculatoire, avec la loi uniforme sur $[0,1]$ ou $[-1,1]$. En plus ça arrive plus souvent.

Autre solution : la loi du couple des deux variables est la loi uniforme sur un carré, donc on peut calculer la fonction de répartition de la somme avec un calcul d'aire.

r.k95 · May 2020

Pour une fonction $f$ positive,
$$E[f(X+Y)]=\frac{3}{16}\int_{-2/3}^{2/3}(\int_{-2}^2f(x+y)dx)dy=\int_{-2/3}^{2/3}(\int_{-2+y}^{2+y}f(u)du)=\frac{3}{16}\int_{-8/3}^{8/3}f(u)(\int_{\max(u-2,-2/3)}^{\min(2/3,u+2)}dy)du$$$$=\frac{3}{16}\int_{-8/3}^{8/3}f(u)(\min(2/3,u+2)-\max(-2/3,u-2))du$$

$f_{X+Y}(u)=\frac{3}{16}1_{[-8/3,8/3]}(u)(\min(2/3,u+2)-\max(-2/3,u-2))$

Somme de deux lois uniformes différentes

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