Utilité de la théorie de la mesure.
Bonjour à toutes et à tous. J’aimerais savoir quel problème de la vie réelle résout la théorie de la mesure ou pour faire simple quel est son utilité. J’aimerais aussi savoir quels sont les champs d’application de cette théorie. Merci bien.
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Réponses
La théorie de la mesure est un cadre pour des mathématiques de haut niveau (intégration, probabilités, ...) et n'est pas un outil pour traiter un "problème de la vie réelle" comme tu dis.
Je reprends ta question en musique : "J’aimerais savoir quel problème de la vie réelle résout la théorie du contrepoint ou pour faire simple quel est son utilité".
Donc si tu fais des études de musique, tu n'auras pas besoin de la théorie du contrepoint, si tu fais des études de maths, tu n'auras pas besoin de la théorie du contrepoint (*).
Cordialement.
(*) même s'il y a une structure mathématique intéressante dans le contrepoint.
La théorie de la mesure possède un tas d'applications indirectes très utiles. On peut imagine le cheminement suivant : la théorie de la mesure donne le bon cadre pour les théories des distributions et des équations aux dérivées partielles, ces théories et les résultats qui en découlent sont utilisées par des ingénieurs qui développent des technologies qui se retrouve dans tout un tas d'objets de la vie de tous les jours.
Bon et sinon son utilité en mathématique est énorme, elle a révolutionné pas mal de domaines : toute l'analyse et les probabilités évidemment mais on la retrouve comme outil dans plein d'autres domaines comme la géométrie ou l'algèbre.
Pour la géométrie on peut penser aux mesures de Hausdorff pour la géométrie fractale, à l'intégration des formes volumes (ou différentielles) sur des variétés différentielles ou encore toute la théorie des systèmes dynamiques qui est souvent utilisée en géométrie (un nombre important d'actions de groupes sur des ensembles peuvent être étudiées sous l'angle des systèmes dynamiques.
On pourrait aussi parler de l'utilisation de la théorie de la mesure en théorie analytique des nombres et sans doute tout un tas d'autres applications mathématiques que j'oublie ou ignore.
@P. a énoncé le problème de Monge qui est le problème initial du transport optimal.
Voici l'énoncé mathématique du problème de Monge:
Étant donnée $(X,d)$ un espace métrique Polonais (séparable et complet), deux mesures de probabilités sur $X$ ainsi qu'une fonction de coût $c: X\times X \rightarrow \mathbb{R}^{+}$:
Voici l'énoncé du problème de Kantorovich qui est une "relaxation" du problème de Monge:
Etant donné $X$ et$Y$ des espaces métriques Polonais, $\mu \in \mathbb{P}(X)$ , $\nu \in \mathbb{P}(Y)$ et $c: X\times Y \to [0;+\infty]$:
- Yann Brenier & Al ont publié sur la reconstruction de l'univers comme problème de transport optimal (problème de Kantorovich) : Reconstruction of the early Universe as a convex optimization problem
- Alessandro Figalli a eu une médaille Fields sur ses travaux sur le transport optimal qui ont des applications en mécanique des fluides (je n'y connais absolument rien par contre je peux rien dire de plus).
- Comme application visuel du transport optimal, on peut citer le transport d'histogramme de couleur entre deux images en minimisant la distance euclidienne total du transport des couleurs (la distance étant ici le coût). Dans ce cas, on voit les histogrammes de couleurs comme des mesures de probabilités dans le plan RGB/(qu'on peut assimilé à $\mathbb{R}^{3}$).
Je joins ci-joint un exemple que j'avais fait.
Après, le problème de la vie réelle c'est que nous somme dans un monde "discret" donc les applications du transport optimal appliquées sont très souvent des problèmes de programmation linéaire.
De même, toute les mesures dans notre monde seront discrète
PS: Je m'excuse, je vulgarise peut-être mal.
Edit: Mes images (a) et (b) ont de mauvais titres. L'image a contient l'histogramme de couleur dont on veut transporter sur l'image b.
D'ailleurs, je rajoute ci joint un exemple d'histogramme de couleur, pris sur cette page: ici
Edit 2:Ci certains veulent d'autres illustrations du transport optimal je peux en montrer.
Jolies images Cere ! (même si je n'ai pas trop compris comment ça marche).
Pour faire en une ligne: on veut que l'image b est les mêmes couleurs que l'image a, en minimisant un certain coût.
Je vais un peu détailler (ce sera pas plus mal):
Pour faire simple, supposons que les images ont toute les deux $K$ couleurs RGB.
On représente les histogrammes de couleurs comme des mesures de masse 1.
Etant donné l'histogramme de couleur de l'image b, on veut transporter cette histogramme sur l'histogramme de a.
C'est à dire, on veut associer à chaque pixel de couleur de l'image a, un pixel de l'image b.
Tout en minimisant le coût total de l'association d'un pixel à un autre qui est la distance euclidienne au carré.
Une fois cette matrice de transport faire, imaginons qu'on a trouvé que a couleur RGB (100,100,50) de a est envoyé sur a couleur RGB de b (100,102,61).
Alors on transforme toute les pixels de couleur RGB (100,100,50) de a en (100,102,61).
C'est pour cela qu'en appliquant ce transport, on a l'impression que le resultat obtenu est une photo prise dans le même paysage vert que l'image a, car cette nouvelle image modifié a exactement les mêmes couleurs que celle-ci.
Je joins ci joint un exemple de ce transport entre deux nuages de points vu encore une fois comme des mesures de probas (chaque point a une masse de 1/(nombre de points)).
@kiki10 je t'en prie. Je pense que c'est normal de pas comprendre grand chose au premier abord, j'ai parachuter des définitions et notations.
Si jamais, je peux conseiller deux livres sur le transport optimal: Optimal Transport for Applied Mathematicians de F.Santambrogio qui sera théorique mais plus accessible que le livre de Cedric Villani (du moins, c'est mon avis)
Pour un livre plus appliquer, à l'informatique: Computational Optimal Transport de G.Peyré et M.Cuturi.
Sinon non, je suis en L2 de maths en réalité (Edit: mais j'ai énormément travaillé cette année sur la théorie du transport optimal et ses applications en imagerie notamment) :-D !
Après pour être honnçete les résultats peuvent être moins beaux, mais quand c'est un transport de couleur entre une image avec une grande dominance comme ici vert avec une autre image qui a une forte dominance de couleur mais différente comme ici rouge, c'est très joli.
Quand les images sont très multicolores, ca peut être moins bien.
Un autre exemple(que je trouve moins beau):
Transport des couleurs d'une peinture de Dali sur une peinture de Picasso.