Chaînes de Markov
Bonjour,
J'ai trouvé beaucoup des définition de la chaîne agrégeable et chaîne englobante et je suis perdu.
S'il vous plaît quelqu'un me donne une explication précise de ces deux chaînes.
Cordialement.
J'ai trouvé beaucoup des définition de la chaîne agrégeable et chaîne englobante et je suis perdu.
S'il vous plaît quelqu'un me donne une explication précise de ces deux chaînes.
Cordialement.
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Réponses
Mais je veux juste l'explication d'une chaîne de Marcov englobante et chaîne de Marcov agrégeable...
Je n'ai pas trouvé une explication claire et simple.
Comment on peut définir une matrice de transition d'une chaîne de Markov agrégé à partir la matrice transition de la chaîne de Marcov initiale ?
Cordialement.
[Restons dans la discussion que tu as ouverte pour tes questions générales sur les chaînes de Markov. AD]
Si on a une chaîne de Markov $(X)_n$ à temps et espace $E$ discrets, parfois on partage $E$ en sous-ensembles disjoints $E_1,\ldots ,E_k$ et on considère les nouvelles va $Y_n$ telles que $Y_n=i$ si $X_n\in E_i$. Mais $(Y_n)$ n'est pas forcement une chaîne de Markov, et il y a des conditions spéciales sur la matrice de transition de $(X_n)$ pour qu'elle en soit une.
Et pour sa matrice de transition comment on le défini qu'ils sont les étapes.
Par exemple dans ce exemple j'ai pas su comment ils ont trouvé la matrice transition de chaîne agrégé et aussi comment ils ont défini l'ensemble A={(1-3a,a,2a),avec à dans [0,1/3]} (de quoi cet exemple).?
P. S: L'espace E=(1, 2,3)
C(1)={1} et c(2)={2,3}
Je n'y connais rien, (P est beaucoup plus compétent que moi), mais voilà ce que j'ai cru comprendre.
Soit $P = (p_{ij}) _{1\leqslant i,j\leqslant n} \in \mathcal M_n ([0;1])$ une matrice stochastique de distribution stationnaire $(\pi_1, \pi_2 , \dots \pi_n)$.
Soit $\mathcal C =\left\{C(1),C(2),\dots C(r)\right \}$ une partition de $[\![1;n]\!].$
Alors la matrice stochastique $\widehat P = (q_{ij}) _{1\leqslant i,j\leqslant r}$ relative à l'agrégation des états produite par la partition $\mathcal C \:$ est définie par:
$$\boxed{ \forall i,j \in [\![1;r]\!], \qquad q_{ij} = \displaystyle \dfrac 1{\displaystyle \sum_{k\in C(i)}\pi _k} \sum_{k\in C(i)} \Big(\pi_k \sum _{l\in C(j)} p_{kl}\Big). }$$
En revanche, le $"\mathcal A_{\mathcal M} "$ reste pour moi bien mystérieux:
"Faiblement agrégeable" me semble vouloir signifier que le modèle de transition $\widehat P = \begin{pmatrix} 1/4& 3 /4 \\ 7/12 &5/12 \end{pmatrix}$ entre les deux états définis par la partition $\{\{1\}, \{2,3\}\}$, obtenu à partir de la matrice initiale selon la procédure que j'ai indiquée, est peu "pertinent".
Le "maximum d'agrégeabilté" me paraît être réalisé avec par exemple une matrice $ P = \begin{pmatrix} a& .&.\\b&.&.\\b&.&.\\\end{pmatrix} $ qui donne alors $\widehat P=\begin{pmatrix}a&1-a\\b&1-b \end{pmatrix}.$
Concernant l'égalité q on a la somme de \pi sur k dans le c(i) se répète dans le numérateur et dénumérateur ? (dans le cadre de la calcul numérique on le simplifier)?
Il n'y a pas de "répétition" mais il est vrai que ma notation pouvait prêter à confusion. Pour lever toute ambigüité, j'ai rajouté les parenthèses appropriées.
Je reviens par une autre définition.. Si on dit une chaîne de Marcov englobante ça veut dire quoi ? Qu'il est sa propreté ?...
Une autre question peut être banale pour vous, ça veut dire quoi les patrons d'un matrice ? (des exemples si vous pouvez)
Cordialement.