Indépendance dans urnes aléatoires
Bonjour,
j'ai un souci de probabilité sur un exercice que je vous soumets.
On lance $n$ dés (6 faces, équilibrés). Pour tout $i$, on note $D_i$ le nombre de lancers nécessaires pour obtenir un $6$ avec le dé numéro $i$. On note $Y=\min(D_1, \ldots,D_n)$ et $Z =\max(D_1,\ldots,D_n)$. On dispose alors de deux urnes : l'urne 1 contient $Y$ jetons numérotés de $1$ à $Y$ et l'urne 2 contient $Z$ jetons numérotés de $1$ à $Z$. On note $U_1$ le numéro tiré dans l'urne $1$ et $U_2$ le numéro tiré dans l'urne $2$. Je voudrais savoir si mes va $U_1$ et $U_2$ sont indépendantes.
Je sais calculer la loi des va $U_1$ et $U_2$. En conditionnant par $Y$ ou $Z$, je trouve : $$
p(U_1=k) =(1-(\frac{5}{6})^{n})\sum_{j=k}^{+\infty} \frac{1}{j}((\frac{5}{6})^{n})^{j - 1},
$$ pour tout $k$ entier naturel non nul. $$
p(U_2=k)=\sum_{j=k}^{+\infty} \frac{1}{j}((1 -(\dfrac{5}{6})^{j}))^n - (1 -(\dfrac{5}{6})^{j-1}))^n).
$$ J'aimerais calculer la loi du couple $(U_1,U_2)$ mais je ne sais pas comment m'y prendre car il faudrait conditionner en même temps par $Y$ et $Z$, ce qui me paraît délicat. Et si je voulais calculer la covariance (en espérant qu'elle soit non nulle), il me faudrait la loi du produit $U_1U_2$ qui me paraît elle aussi hors d'atteinte.
Enfin, j'ai calculé la limite de $p(U_1=k)$ quand le nombre $n$ de dés tend vers l'infini. On trouve que cette proba tend vers 0, sauf si $k=1$, ce qui me semble totalement raisonnable. Je voudrais aussi calculer la limite de $p(U_1=k)$ quand le nombre $n$ de dés tend vers l'infini. Mais je coince : pour $U_2$, j'ai appliqué le théorème d'inversion somme/limite assez facilement puisque le terme général de la somme est décroissant en $n$. Mais ce n'est pas le cas pour $U_2$, donc je suis coincé aussi.
j'ai un souci de probabilité sur un exercice que je vous soumets.
On lance $n$ dés (6 faces, équilibrés). Pour tout $i$, on note $D_i$ le nombre de lancers nécessaires pour obtenir un $6$ avec le dé numéro $i$. On note $Y=\min(D_1, \ldots,D_n)$ et $Z =\max(D_1,\ldots,D_n)$. On dispose alors de deux urnes : l'urne 1 contient $Y$ jetons numérotés de $1$ à $Y$ et l'urne 2 contient $Z$ jetons numérotés de $1$ à $Z$. On note $U_1$ le numéro tiré dans l'urne $1$ et $U_2$ le numéro tiré dans l'urne $2$. Je voudrais savoir si mes va $U_1$ et $U_2$ sont indépendantes.
Je sais calculer la loi des va $U_1$ et $U_2$. En conditionnant par $Y$ ou $Z$, je trouve : $$
p(U_1=k) =(1-(\frac{5}{6})^{n})\sum_{j=k}^{+\infty} \frac{1}{j}((\frac{5}{6})^{n})^{j - 1},
$$ pour tout $k$ entier naturel non nul. $$
p(U_2=k)=\sum_{j=k}^{+\infty} \frac{1}{j}((1 -(\dfrac{5}{6})^{j}))^n - (1 -(\dfrac{5}{6})^{j-1}))^n).
$$ J'aimerais calculer la loi du couple $(U_1,U_2)$ mais je ne sais pas comment m'y prendre car il faudrait conditionner en même temps par $Y$ et $Z$, ce qui me paraît délicat. Et si je voulais calculer la covariance (en espérant qu'elle soit non nulle), il me faudrait la loi du produit $U_1U_2$ qui me paraît elle aussi hors d'atteinte.
Enfin, j'ai calculé la limite de $p(U_1=k)$ quand le nombre $n$ de dés tend vers l'infini. On trouve que cette proba tend vers 0, sauf si $k=1$, ce qui me semble totalement raisonnable. Je voudrais aussi calculer la limite de $p(U_1=k)$ quand le nombre $n$ de dés tend vers l'infini. Mais je coince : pour $U_2$, j'ai appliqué le théorème d'inversion somme/limite assez facilement puisque le terme général de la somme est décroissant en $n$. Mais ce n'est pas le cas pour $U_2$, donc je suis coincé aussi.
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Réponses
Si la question est celle au dessus (il me semble très intuitif que $U_1,U_2$ ne sont pas indépendantes, et qu'elles sont positivement corrélées, car $U_1 \le Y$ et $U_2 \le Z$, avec $Y\le Z$, même si ce n'est pas suffisant pour répondre !), il n'y a sans doute pas besoin de faire ceci : mais seulement des cas particuliers bien choisis, et encore moins ça :
$$0<P_{[U_1=k]}(U_2=1) \le \frac{1}{k}.$$
- calculer la loi du couple
- calculer la covariance
Aucune des deux méthodes ne me paraît satisfaisante (et je n'arrive au bout d'aucune). Je sens bien qu'elles ne vont pas être indépendantes, mais comment le prouver proprement ?
Parfois, on arrive à trouver un événement du couple vide (c'est sans doute ce que tu suggères), mais je n'en vois pas ici.
Ensuite, je voulais au passage (et sans aucun lien avec l'indépendance) calculer mes limites quand le nombre de boules tend vers l'infini.
Edit : j'ai répondu avant ton deuxième message, je lis ça
Lemme: soit $(Y,Z)$ et $(U_1,U_2) $ deux va de $\{1,2,\ldots\}^2$ telles que la loi conditionnelle de $(U_1,U_2) $ sachant $(Y,Z)$ est uniforme sur le rectangle $\{1,\ldots,Y\}\times \{1,\ldots,Z\}.$ Alors $U_1$ et $U_2$ sont independantes si et seulement si $Y$ et $Z$ sont independantes.
Demonstration: soit $f(s,t)=\mathbb{E}(s^Yt^Z)$. Alors
$$\mathbb{E}(s^{U_1}t^{U_2})=\mathbb{E}[\mathbb{E}(s^{U_1}t^{U_2}|Y,Z)]=\frac{1}{1-s}\frac{1}{1-t}\mathbb{E}[(s-s^Y)(t-t^Y)]\stackrel{??}{=}\frac{1}{1-s}\frac{1}{1-t}\mathbb{E}(s-s^Y)\mathbb{E}(t-t^Y)$$ L'egalite ?? est realisee si et seulement si $f(s,t)=f(s,1)f(1,t).$
L'application au probleme du fil est evidente car $Y\leq Z$ entraine que $Y$ et $Z$ ne sont pas independantes puisque le support de la loi de $(Y,Z)$ n'est pas un produit.
Parce que par exemple, c'est la relation entre le rang d'apparition $X$ du deuxième succès dans un schéma de Bernoulli et celui $X'$ du premier succès.