Indépendance dans urnes aléatoires

Bonjour,
j'ai un souci de probabilité sur un exercice que je vous soumets.

On lance $n$ dés (6 faces, équilibrés). Pour tout $i$, on note $D_i$ le nombre de lancers nécessaires pour obtenir un $6$ avec le dé numéro $i$. On note $Y=\min(D_1, \ldots,D_n)$ et $Z =\max(D_1,\ldots,D_n)$. On dispose alors de deux urnes : l'urne 1 contient $Y$ jetons numérotés de $1$ à $Y$ et l'urne 2 contient $Z$ jetons numérotés de $1$ à $Z$. On note $U_1$ le numéro tiré dans l'urne $1$ et $U_2$ le numéro tiré dans l'urne $2$. Je voudrais savoir si mes va $U_1$ et $U_2$ sont indépendantes.

Je sais calculer la loi des va $U_1$ et $U_2$. En conditionnant par $Y$ ou $Z$, je trouve : $$
p(U_1=k) =(1-(\frac{5}{6})^{n})\sum_{j=k}^{+\infty} \frac{1}{j}((\frac{5}{6})^{n})^{j - 1},
$$ pour tout $k$ entier naturel non nul. $$
p(U_2=k)=\sum_{j=k}^{+\infty} \frac{1}{j}((1 -(\dfrac{5}{6})^{j}))^n - (1 -(\dfrac{5}{6})^{j-1}))^n).

$$ J'aimerais calculer la loi du couple $(U_1,U_2)$ mais je ne sais pas comment m'y prendre car il faudrait conditionner en même temps par $Y$ et $Z$, ce qui me paraît délicat. Et si je voulais calculer la covariance (en espérant qu'elle soit non nulle), il me faudrait la loi du produit $U_1U_2$ qui me paraît elle aussi hors d'atteinte.

Enfin, j'ai calculé la limite de $p(U_1=k)$ quand le nombre $n$ de dés tend vers l'infini. On trouve que cette proba tend vers 0, sauf si $k=1$, ce qui me semble totalement raisonnable. Je voudrais aussi calculer la limite de $p(U_1=k)$ quand le nombre $n$ de dés tend vers l'infini. Mais je coince : pour $U_2$, j'ai appliqué le théorème d'inversion somme/limite assez facilement puisque le terme général de la somme est décroissant en $n$. Mais ce n'est pas le cas pour $U_2$, donc je suis coincé aussi.