Tribu engendrée par un ev de fonctions dans R

Saturne
Saturne
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour,

Je suis en train de m'embrouiller. Peut-être ça ira mieux si je commence par prendre le temps de bien formuler la question :-D

Soient $X$ un ensemble et $E$ un espace vectoriel de fonctions définies sur $X$ à valeurs réelles. Est-ce que la tribu $\sigma(E)$ sur $X$ est engendrée par les ensembles $\{a < f \leqslant b\}$ où $f \in E$ et $0 < a < b$ ?

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Difficile de répondre. En l'absence de famille de parties privilégiées sur $E$ (par exemple une topologie), je ne vois pas trop ce que peut désigner $\sigma(E)$ (à part la tribu grossière $\{\emptyset, E\}$ :-D ).

    EDIT : Je n'avais pas vu que tu parlais d'une tribu sur $X$. Dans ce cas $\sigma(E)$ désigne certainement la plus petite tribu sur $X$ rendant les éléments de $E$ mesurables, c'est ça ?
  • raoul.S
    raoul.S
    @Poirot je pense que $\sigma(E)$ est la plus petite tribu sur $X$ rendant les $f$ mesurables.
  • Saturne
    Saturne
    $\sigma(E)$ est la plus petite (l'intersection) des tribus sur $X$ pour lesquelles chaque $f \in E$ est mesurable. C'est par ailleurs la tribu engendrée par les ensembles $f^{-1}(B)$, $f \in E$, $B \in \mathcal{B}_\mathbb{R}$.
  • Thierry Poma
    Thierry Poma
    Bonsoir,

    Je pense que ce doit être la fatigue. Soit $s$ et $x$ des lettres distinctes qui ne sont pas des constantes d'une théorie $\mathscr{T}$ plus forte qu'une théorie des ensembles (celle de Bourbaki, par exemple). La typification $\text{T}(x,\,s)$ : $s\in\mathfrak{P}(\mathfrak{P}(x))$ constitue la caractérisation typique de l'espèce de structure tribale dans $\mathscr{T}$, comportant les ensembles de base principaux $\text{X}$ et $\text{E}$. Pour chacun de ces deux ensembles de base, nous obtenons deux caractérisations typiques, à savoir $\text{T}_{\text{X}}\in\mathfrak{P}(\mathfrak{P}(\text{X}))$ et $\text{T}_{\text{E}}\in\mathfrak{P}(\mathfrak{P}(\text{E}))$, chacun des ensembles $\text{T}_{\text{X}}$ et $\text{T}_{\text{E}}$ vérifiant les axiomes explicites d'une tribu.

    Questions : $\sigma(\text{E})\in\mathfrak{P}(\mathfrak{P}(\text{X}))$ ? $\sigma(\text{E})\in\mathfrak{P}(\mathfrak{P}(\text{E}))$ ?

    Cordialement,

    Thierry
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • Foys
    Foys
    Soient $X,Y$ des ensembles,$A$ un ensemble de fonctions de $X$ vers $Y$ et $\mathcal G$ un ensemble de parties de $Y$. On munit $Y$ de la plus petite tribu $\mathcal G'$ contenant $\mathcal G$ (tribu engendrée par $\mathcal G$). Soit $\mathcal F$ la plus petite tribu sur $X$ rendant tous les éléments de $A$ mesurables.
    Alors $\mathcal F$ est engendrée par $\mathcal H:=\{f^{-1}(G) \mid G\in \mathcal G, f\in A\}$.

    Preuve:
    D'une part, il est clair que $\mathcal H$ est contenu dans toutes les tribus rendant toutes les applications $f\in A$ mesurables. Donc $\mathcal F$ contient la tribu $\mathcal H'$ engendrée par $\mathcal H$.
    D'autre part soit $\mathcal K$ l'ensemble des parties $V$ de $Y$ telles que pour tout $f\in A$, $f^{-1}(V) \in \mathcal H'$.
    La commutation des opérations ensemblistes avec $f^{-1}$ entraîne alors que $\mathcal K$ est une tribu sur $Y$, de plus $\mathcal K$ contient $\mathcal G$ et donc aussi $\mathcal G'$. Ainsi tous les éléments de $A$ sont mesurables de $(X,\mathcal H')$ vers $(Y,\mathcal G')$. Donc $\mathcal F \subseteq \mathcal H'$.
    En résumé,$\mathcal F=\mathcal H'$ par double inclusion.

    Cela entraîne le résultat visé dans le fil.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Saturne
    Saturne
    @Foys, je pense que tu as raté la restriction $a > 0$. C'est là que l'hypothèse d'espace vectoriel va jouer un rôle. Je crois que j'y suis parvenu. J'ai démontré que $\sigma(E) = \sigma\bigl(\{f > 1\}, f \in E\bigr)$. Car avec les $\{f > 1\}$ pour tout $f \in E$ on obtient les $\{f > a\}$ pour tout $a \in \mathbb{R}$ en utilisant $af \in E$ et $-f \in E$.

    @Thierry Poma, je n'ai rien compris à ton message :-D
  • Thierry Poma
    Thierry Poma
    Bonjour,

    @Saturne : c'est normal et c'est voulu.

    @Foys : je me sers de tes notations. Tu as construit, tout comme cela se fait également pour l'espèce de structure topologique, la structure initiale pour la famille $\left(\text{Y},\,\mathcal{G}',\,f\right)_{f\in\mathcal{A}}$, c'est-à-dire la structure la moins fine des structures d'espèce tribale sur $\text{X}$ pour lesquelles chaque $\mathcal{A}\ni{}f:\text{X}\to\text{Y}$ est un morphisme tribal, i.e. ici une fonction mesurable. Cela correspond à ce que j'attendais.

    Cordialement,

    Thierry
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • Foys
    Foys
    @Saturne: j'avais zappé mais oui, le fait d'être d'avoir un espace vectoriel va être utile car si $a<b<0$ et $f$ est dans $E$,
    alors $f^{-1}([a,b[) = (-f)^{-1}(]-b,-a]) \in \sigma (E)$ puisque $-f \in E$.
    La tribu borélienne de $\R$ est engendrée par les intervalles ouverts ne rencontrant pas $0$ (et pour tous $p,q$, $]p,q[$ est la réunion de $(]p,q-2^n])_{n\in \N}$, et aussi de $([p+2^n,q[)_{n\in \N}$ etc).
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
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