Évènements indépendants
Bonjour
Un exercice qui ne me semble pas dur mais je ne trouve pas l'idée.
Montrer que, si les évènements $A$ et $B$ d'une part, $A$ et $C$ d'autre part, sont indépendants et si $B \subset C$, alors $A$ et $C \setminus B$ sont indépendants.
J'ai écrit $\mathbb P(A \cap = \mathbb P(A) \mathbb P(B)$ et $\mathbb P(A \cap C)= \mathbb P(A)\mathbb P(C)$
Je dois exprimer $A \cap (C \setminus $ mais je ne vois pas comment. Pourtant je connais les propriétés sur les ensembles.
Un exercice qui ne me semble pas dur mais je ne trouve pas l'idée.
Montrer que, si les évènements $A$ et $B$ d'une part, $A$ et $C$ d'autre part, sont indépendants et si $B \subset C$, alors $A$ et $C \setminus B$ sont indépendants.
J'ai écrit $\mathbb P(A \cap = \mathbb P(A) \mathbb P(B)$ et $\mathbb P(A \cap C)= \mathbb P(A)\mathbb P(C)$
Je dois exprimer $A \cap (C \setminus $ mais je ne vois pas comment. Pourtant je connais les propriétés sur les ensembles.
Réponses
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$C\setminus B$ est aussi l'intersection de $C$ et du complémentaire de $B$.
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Bonjour,
Voici quelques "ingrédients en vrac" qu'il suffit d'écrire pour répondre à la question posée:
$C\setminus B = C\cap \overline{B}$
associativité de l'intersection
formule des probabilités totales (relativement au système complet d'événements $\left\{~B;~\overline{B}~\right\}$).
définition de l'indépendance de deux événements
Cordialement -
Merci.
Donc $A \cap (C \setminus = A \cap C \cap \bar{B}$ par commutativité de l'intersection.
Donc $\mathbb P(A \cap (C \setminus )=\mathbb P(A \cap C \cap \bar{B})$
D'après la formule des probabilités totales :
$\mathbb P(A \cap C)= \mathbb P(A \cap C \cap \bar{B})+ \mathbb P(A \cap C \cap $
Je suis bloqué à ce stade. -
C inter B = ?
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Ok merci ça m'a permis de finir.
$\mathbb P(A \cap C)= \mathbb P(A \cap C \cap \bar{B})+ \mathbb P(A \cap C \cap $
Comme $B \subset C$, $B \cap C =B$
Donc $\mathbb P(A \cap C)= \mathbb P(A \cap C \cap \bar{B})+ \mathbb P(A \cap $ par indépendance.
Soit $\boxed{\mathbb P(A \cap C \cap \bar{B})= \mathbb P(A) ( \mathbb P(C) - \mathbb P(B) )}$
Or $\mathbb P(A \cap C) \mathbb P( \bar{B}) = \mathbb P(A) \mathbb P(C) (1- \mathbb P(B) )$ par indépendance de $A$ et $C$.
D'où le résultat. -
Je ne comprends pas à quoi sert la dernière ligne et ce qu'elle démontre.
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En fait je ne vois pas comment conclure à partir de ce que j'ai encadré.
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Si tu commençais par écrire ce que tu souhaites démontrer, ce serait plus facile de savoir comment aboutir !
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Oshine a écrit:D'où le résultat.Oshine a écrit:En fait je ne vois pas comment conclure à partir de ce que j'ai encadré.
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Il faut montrer que : $\mathbb P(A \cap C \cap \bar{B}) =\mathbb P(A) \mathbb P(C \cap \bar{B})$
J'obtiens :
$\mathbb P(A \cap C \cap \bar{B})= \mathbb P(A) ( \mathbb P(C) - \mathbb P(B))$
Je bloque ici.
Le corrigé de mon livre donne $\mathbb P(A \cap (C \backslash ) = \mathbb P( (A \cap C) \backslash (A \cap ) = \mathbb P(A \cap C) - \mathbb P(A \cap $
Je ne comprends aucune étape du calcul. -
Ne vois-tu pas un lien entre $A \cap (C \setminus $ et $(A \cap C) \setminus (A \cap $ ?
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Il y a égalité. Mais je ne vois pas par quelle règle on obtient la dernière égalité à droite.
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Pourquoi, alors, avoir écrit "je ne comprends aucune étape du calcul" (la mise en gras est de moi) si tu comprends la première étape ?
Visiblement, quand tu dis que tu ne comprends pas, tu n'as [pas] beaucoup essayé alors revenons aux fondamentaux : qu'as-tu essayé pour la deuxième étape ? Quelles sont tes idées en voyant l'égalité à établir ? -
Oshine a écrit:
Il faut montrer que : $\mathbb P(A \cap C \cap \bar{B}) =\mathbb P(A) \mathbb P(C \cap \bar{B})$
J'obtiens :
$\mathbb P(A \cap C \cap \bar{B})= \mathbb P(A) (
\mathbb P(C) - \mathbb P(B))$
Je bloque ici.
Pourtant, le plus dur est fait. Il te reste donc à montrer que $\mathbb{P}(C \cap \bar{B})=\mathbb{P}(C)-\mathbb{P}(B)$.
ie comme $B \subset C$, que $\mathbb{P}(C \setminus =\mathbb{P}(C)-\mathbb{P}(B)$.
Un dessin ? qui pourra peut-être t'aiguiller sur une preuve ?
Tellement peu d'initiatives.. Regarde, ce n'est que de la réécriture ce que tu as fait, pas de maths du tout ! -
Ok merci j'ai compris.
Cela provient du fait que si $B \subset C$ alors $C= (C \cap \bar{B}) \bigcup B$
Avec $C \cap \bar{B}$ et $B$ des événements disjoints donc : $\mathbb P(C) = \mathbb P(C \cap \bar{B})+\mathbb P(B) $ -
Oshine a écrit:Cela provient du fait que si $B \subset C$ alors $C= (C \cap \bar{B}) \bigcup B$
En effet. Si par contre on n'a pas forcément $B \subset C$, $C = (C \cap \bar{B}) \bigcup (C \cap $ et alors $\mathbb{P}(C \setminus = \mathbb{P}(C)-\mathbb{P}(C \cap $. Il est donc judicieux de ne pas apprendre une formule toute faite pour $\mathbb{P}(C \setminus $ ET DE FAIRE DES DESSINS !
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