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Évènements indépendants

OShineOShine
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour
Un exercice qui ne me semble pas dur mais je ne trouve pas l'idée.

Montrer que, si les évènements $A$ et $B$ d'une part, $A$ et $C$ d'autre part, sont indépendants et si $B \subset C$, alors $A$ et $C \setminus B$ sont indépendants.

J'ai écrit $\mathbb P(A \cap B)= \mathbb P(A) \mathbb P(B)$ et $\mathbb P(A \cap C)= \mathbb P(A)\mathbb P(C)$

Je dois exprimer $A \cap (C \setminus B)$ mais je ne vois pas comment. Pourtant je connais les propriétés sur les ensembles.

Réponses

  • bisambisam
    $C\setminus B$ est aussi l'intersection de $C$ et du complémentaire de $B$.
  • BbiduleBbidule
    Bonjour,

    Voici quelques "ingrédients en vrac" qu'il suffit d'écrire pour répondre à la question posée:
    $C\setminus B = C\cap \overline{B}$
    associativité de l'intersection
    formule des probabilités totales (relativement au système complet d'événements $\left\{~B;~\overline{B}~\right\}$).
    définition de l'indépendance de deux événements

    Cordialement
  • OShineOShine
    Merci.

    Donc $A \cap (C \setminus B) = A \cap C \cap \bar{B}$ par commutativité de l'intersection.

    Donc $\mathbb P(A \cap (C \setminus B) )=\mathbb P(A \cap C \cap \bar{B})$

    D'après la formule des probabilités totales :

    $\mathbb P(A \cap C)= \mathbb P(A \cap C \cap \bar{B})+ \mathbb P(A \cap C \cap B)$

    Je suis bloqué à ce stade.
  • noobeynoobey
    C inter B = ?
  • OShineOShine
    Ok merci ça m'a permis de finir.

    $\mathbb P(A \cap C)= \mathbb P(A \cap C \cap \bar{B})+ \mathbb P(A \cap C \cap B)$

    Comme $B \subset C$, $B \cap C =B$

    Donc $\mathbb P(A \cap C)= \mathbb P(A \cap C \cap \bar{B})+ \mathbb P(A \cap B)$ par indépendance.

    Soit $\boxed{\mathbb P(A \cap C \cap \bar{B})= \mathbb P(A) ( \mathbb P(C) - \mathbb P(B) )}$

    Or $\mathbb P(A \cap C) \mathbb P( \bar{B}) = \mathbb P(A) \mathbb P(C) (1- \mathbb P(B) )$ par indépendance de $A$ et $C$.

    D'où le résultat.
  • noobeynoobey
    Je ne comprends pas à quoi sert la dernière ligne et ce qu'elle démontre.
  • OShineOShine
    En fait je ne vois pas comment conclure à partir de ce que j'ai encadré.
  • bisambisam
    Si tu commençais par écrire ce que tu souhaites démontrer, ce serait plus facile de savoir comment aboutir !
  • AlexiqueAlexique
    Oshine a écrit:
    D'où le résultat.
    Deux posts plus loin :
    Oshine a écrit:
    En fait je ne vois pas comment conclure à partir de ce que j'ai encadré.
    T'es vraiment un escroc ! Tu prends le temps d'écrire bien en latex avec des encadrés des trucs que tu ne comprends pas. Les membres du forum ne sont pas là pour te noter ou t'évaluer donc c'est dommage de nous prendre pour des c... Mais bon, pas d'oral donc je ne fais qu'enfoncer des portes ouvertes.
  • OShineOShine
    Il faut montrer que : $\mathbb P(A \cap C \cap \bar{B}) =\mathbb P(A) \mathbb P(C \cap \bar{B})$

    J'obtiens :
    $\mathbb P(A \cap C \cap \bar{B})= \mathbb P(A) ( \mathbb P(C) - \mathbb P(B))$

    Je bloque ici.

    Le corrigé de mon livre donne $\mathbb P(A \cap (C \backslash B)) = \mathbb P( (A \cap C) \backslash (A \cap B)) = \mathbb P(A \cap C) - \mathbb P(A \cap B)$

    Je ne comprends aucune étape du calcul.
  • michaelmichael
    Ne vois-tu pas un lien entre $A \cap (C \setminus B)$ et $(A \cap C) \setminus (A \cap B)$ ?
  • OShineOShine
    Il y a égalité. Mais je ne vois pas par quelle règle on obtient la dernière égalité à droite.
  • michaelmichael
    Pourquoi, alors, avoir écrit "je ne comprends aucune étape du calcul" (la mise en gras est de moi) si tu comprends la première étape ?

    Visiblement, quand tu dis que tu ne comprends pas, tu n'as [pas] beaucoup essayé alors revenons aux fondamentaux : qu'as-tu essayé pour la deuxième étape ? Quelles sont tes idées en voyant l'égalité à établir ?
  • AlexiqueAlexique
    Oshine a écrit:
    Il faut montrer que : $\mathbb P(A \cap C \cap \bar{B}) =\mathbb P(A) \mathbb P(C \cap \bar{B})$
    J'obtiens :
    $\mathbb P(A \cap C \cap \bar{B})= \mathbb P(A) (
    \mathbb P(C) - \mathbb P(B))$
    Je bloque ici.

    Pourtant, le plus dur est fait. Il te reste donc à montrer que $\mathbb{P}(C \cap \bar{B})=\mathbb{P}(C)-\mathbb{P}(B)$.
    ie comme $B \subset C$, que $\mathbb{P}(C \setminus B)=\mathbb{P}(C)-\mathbb{P}(B)$.
    Un dessin ? qui pourra peut-être t'aiguiller sur une preuve ?

    Tellement peu d'initiatives.. Regarde, ce n'est que de la réécriture ce que tu as fait, pas de maths du tout !
  • OShineOShine
    Ok merci j'ai compris.

    Cela provient du fait que si $B \subset C$ alors $C= (C \cap \bar{B}) \bigcup B$

    Avec $C \cap \bar{B}$ et $B$ des événements disjoints donc : $\mathbb P(C) = \mathbb P(C \cap \bar{B})+\mathbb P(B) $
  • AlexiqueAlexique
    Oshine a écrit:
    Cela provient du fait que si $B \subset C$ alors $C= (C \cap \bar{B}) \bigcup B$

    En effet. Si par contre on n'a pas forcément $B \subset C$, $C = (C \cap \bar{B}) \bigcup (C \cap B)$ et alors $\mathbb{P}(C \setminus B)= \mathbb{P}(C)-\mathbb{P}(C \cap B)$. Il est donc judicieux de ne pas apprendre une formule toute faite pour $\mathbb{P}(C \setminus B)$ ET DE FAIRE DES DESSINS !
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