Petite question de probabilité

MaxDcps
MaxDcps
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour
Suite à un long débat avec des amis hier soir autour d'un problème de probabilité, nous n'avons pas réussi à nous mettre d'accord... J'en appelle à vous afin de nous départager, et savoir enfin lequel d'entre nous avait raison :-) (Et surtout comprendre pourquoi !).

Le problème :
100 personnes sont alignées devant vous, elles choisissent toutes un nombre de 1 à 10 sans le communiquer à personne. Vous allez vous adresser à chacune d'entre elles en essayant de deviner le chiffre qu'elles ont en tête. Pour maximiser vos chances de succès, et donc deviner le plus de chiffre sur les 100 essais :

1°) Est-ce qu'il vaut mieux répéter toujours le même chiffre aux 100 personnes.
Exemple : dire "1" à chaque personne, et s'y tenir jusqu'au bout.

2°) Est-ce le chiffre que vous demandez à chaque personne n'a pas d'incidence sur les chances de succès
Exemple : dire 1, puis 4, puis 7, puis 2... etc... de manière totalement aléatoire sans tenir compte des échecs et des succès.

Merci d'avance pour votre aide !!
Bonne soirée.
Maxime.

Réponses

  • marsup
    marsup
    Ça dépend des hypothèses que l'on fait.

    Dans l'interprétation la plus courante, les 100 personnes émettent leur choix d'une façon mutuellement indépendante, et (sans doute) uniforme de 1 à 10.

    Dans ce cas, les deux approches (tester 100 fois le même nombre, ou bien tester 100 nombres aléatoires) donnent la même distribution de succès (binomiale $\mathcal{B}(n,p)$, où $n=100, p = \frac{1}{10}$.)

    En fait, sous nos deux hypothèses, toute distribution de probabilité donne toujours cette même loi, tant que celui qui tente de deviner travaille d'une façon indépendantes de l'aléa produit par les 100 cobayes.
  • Dom
    Dom
    On peut oublier le côté humain du problème même si je garde une idée physique avec un dé (à six faces).

    On imagine un dé qui donne un entier entre 1 et 10 (distribution uniforme, c’est-à-dire dé équilibré)
    Méthode 1 :
    Cent fois on répète :
    - jeter le dé
    - faire un bâton sur une feuille si le dé tombe sur 1

    Méthode 2 :
    Cent fois on répète :
    -jeter le dé
    -jeter le dé une seconde fois et faire un bâton sur une feuille si le deuxième jet affiche le même nombre que le premier jet

    Petite analyse :
    -j’observe qu’à chaque fois on a une chance sur dix de tomber sur 1 dans la méthode 1
    -j’observe qu’à chaque fois on a une chance sur dix que le deuxième jet tombe sur le même nombre que le premier jet (on peut dire « une chance sur dix - dix chances sur cent - de faire un double »).

    Ainsi, si tout est uniformément aléatoire, c’est la même chose.
    Si je me trompe j’oserais dire, en mentant, que c’est la fatigue qui m’a pris.
  • gerard0
    gerard0
    Non, pas d'effet de fatigue, je confirme.

    Cordialement.
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