Comprendre la correction (exercice basique)

MélodieFa · June 2020

Bonjour, j'ai des soucis de compréhension d'un exercice sur la "continuité monotone" j'ai joint le sujet, la correction, ainsi que la seule chose que j'ai pu improviser pour la question 1. Voici mes problèmes pour comprendre la correction de chaque question :

1/Qu'est-ce qu'ils veulent dire par "par construction" et comment cela justifie que ces événements sont disjoints.
Pourquoi la réunion des A_n est égale à celle des B_n.

2/ On doit passer par B pour prouver cela, pourquoi ? B est sigma-additif et A ne l'est pas ?

3/ Le fait qu'on prenne le complémentaire ne change rien à la démonstration du 2/ (dans le "Or, d'après la question précédente" ) ? Est-ce parce qu'on est dans un espace probabilisé ? A appartient à cet espace ?

Merci d'avance. 104398

OShine · June 2020

Sans regarder le corrigé, je dirais que pour montrer que les $B_n$ sont 2 à 2 disjoints, j'étudierai l'intersection $B_i \cap B_j$ avec $i \ne j$.

Ça ne m'a pas l'air trop dur... Pour comprendre un corrigé il faut d'abord le faire soi-même, quand on peut.

Le corrigé va un peu trop vite pour la question 1.

Poirot · June 2020

Les éléments de $B_n$ sont exactement les éléments de $A_n$ qui ne sont dans aucun $A_k$ avec $k < n$, donc les $B_n$ sont deux à deux disjoints. On voit facilement que la réunion des $B_k$, pour $0 \leq k \leq n$ vaut la réunion des $A_k$, pour $0 \leq k \leq n$ par une double inclusion que je te laisse démontrer.

Ça ne veut rien dire que $B$ est $\sigma$-additif, c'est la mesure $\bf P$ qui l'est. Je te rappelle que la $\sigma$-additivité permet de dire que la mesure d'une réunion dénombrable disjointe (plus précisément deux à deux disjointe) de parties mesurables vaut la somme des mesures de ces parties. Les $A_n$ n'étant pas deux à deux disjoints on ne peut pas leur appliquer directement la $\sigma$-additivité de $\bf P$, mais c'est bien le cas des $B_n$.

Ce qui permet de passer au complémentaire sans encombre c'est que, pour toute partie mesurable $C$, on a $\mathbf P(\overline C) = 1 - \mathbf P(C)$. Je te laisse rédiger les détails. Le résultat de la deuxième question est faux pour une mesure quelconque, mais il est vrai dès qu'on suppose qu'il existe un $A_n$ de mesure finie.

MélodieFa · June 2020

Merci à vous deux,

Je sais qu'il s'agit d'un exercice basique, mais je bloque sur le premier chapitre du manuel que j'ai emprunté, j'ai jamais eu de cours sur ces notions et le cours du livre est composé de rappels qui ne sont pas détaillés plus que cela. Si quelqu'un a un manuel à conseiller pour comprendre les probabilités quitte à recommencer de zéro j'en serais très reconnaissante.

Poirot · June 2020

Quel est ton niveau ? Personnellement j'aime beaucoup Probabilités pour les non probabilistes de Walter Appel.

OShine · June 2020

J'étudie seul, j'ai des difficultés et je trouve cette correction très mal expliquée.

Je pense que cette correction doit convenir à des bons élèves mais pour moi la correction de la première question est bâclée et ça ne permet pas de comprendre les choses quand on débute.

Michael m'a conseillé le livre suivant : Probabilités et statistiques pour le CAPES externe et l'Agrégation interne de Mathématiques Jérôme Escoffier. On peut parcourir des pages du livre, ça m'a l'air bien expliqué.
Par contre, il n'y a pas de théorie de la mesure. Mais moi c'est ce qu'il me faut car je vise que le capes et au maximum l'agrégation interne qui ne comporte pas de théorie de la mesure.

MélodieFa · June 2020

Merci infiniment pour les ouvrages conseillés, je vais voir ça

j'ai fini la l2, on a commencé les probabilités pendant le s3 et je sais que j'aurais de la probabilité approfondie en l3, le manuel que j'avais pris s'adresse au premier cycle universitaire du coup je paniquais un peu de ne pas le comprendre ^^'

michael · June 2020

Salut MélodieFa,

le message auquel fait référence OShine est ici.
Quand j'ai découvert ce bouquin, je n'étais pas franchement copain avec les probabilités (je te passe les détails). Sans être désormais un grand probabiliste (loin s'en faut !), le livre de J. Escoffier m'a vraiment permis de me remettre à l'étude des probabilités (à un niveau, certes, modeste) en douceur, de reprendre confiance en moi dans ce domaine... et même de prendre plaisir à l'étudier (ce qui n'était pas gagné).
Ce bouquin aborde les probabilités sans théorie de la mesure. J'imagine que c'est également ton cas en fin de L2. Sinon, il te faudra peut-être une autre référence.

Je mentionne également, dans le message en lien ci-haut l'ouvrage cité par Poirot. Très succinctement car je n'ai pas suffisamment travaillé avec pour avoir un avis parfaitement éclairé.

Tu auras certainement plus de précisions, plus de références,en ouvrant un fil sur le sujet dans la section Livres, articles, revues, (...).

MélodieFa · June 2020

Bonjour Michael,

Je ne pense pas avoir besoin d'ouvrir un nouveau sujet, les livres que l'on m'a déjà conseillé ont l'air d'être détaillés. Cependant, j'hésite entre les deux, parce que celui pour le CAPES a l'air très accessible et celui pour des non-probabilistes a l'air extrêmement complet. Je suis dans une licence (MIASHS) où les probabilités prennent une place très importante (9 crédits sur 30), beaucoup d'élèves poursuivent en master statistiques après cette licence. J'aimerais réviser la L2 et préparer la L3, je pense que je vais finir par commander les deux manuels, quitte à revoir certaines choses plusieurs fois, on ne fait jamais trop d'exercices après tout

michael · June 2020

Salut MélodieFa,

tu fais comme tu veux, bien entendu. Mon conseil d'ouvrir une autre discussion est pour te permettre d'avoir un maximum de réponses, des avis différents, et des recommandations adaptées à ta situation.
En précisant ton parcours et ce que tu souhaites, les conseils seront d'autant plus pertinents. En ouvrant le sujet dans la section dédiée, ton sujet sera plus visible et donc susceptible d'obtenir plus de réponses. Mais ça restait un conseil, nullement une injonction.

Comme tu parles de statistiques dans ton message, j'en profite pour faire une précision que j'ai tendance à oublier : le titre du bouquin de J. Escoffier est trompeur en ce sens qu'il aborde très (très) peu les statistiques (quelques pages en fin d'ouvrage orientées vers une ou deux leçons du CAPES).

OShine · June 2020

@MIchael
Couvre-t-il l'unique leçon statistique de l'agrégation interne ?

michael · June 2020

Si la leçon à laquelle tu fais référence est Exemples d’estimation en statistiques : estimation ponctuelle, estimation par intervalles de confiance., la réponse est non.
Tu trouveras peut-être un ou deux exemples intéressants dans le bouquin (je ne le connais pas par cœur), mais il ne la traite pas spécifiquement.

Les parties vraiment consacrées aux statistiques sont en toute fin d'ouvrage, dans le chapitre IX - Leçons d'oral (CAPES Externe) :
IX.7 Séries statistiques à deux variables numériques. Nuage de points associé. Ajustement affine par la méthode des moindres carrés. Droites de régression. Applications. L'exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l'utilisation de la calculatrice.
IX.8 Compléments sur les statistiques doubles.