Covariance
Bonjour
Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes et de même loi.
On pose $S=X+Y$ et $P=XY$.
Calculons $cov(S,P)$
On a $cov(S,P)=E(SP)-E(S)E(p)=E\big((X+Y)XY\big)-E(X+Y)E(XY)$
Puisque $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes alors ($X$ et $Y^3$) et ($X^3$ et $Y$) le sont aussi et $E(XY)=E(X)E(Y)$ et donc par la linéarité de l’espérance on a : $cov(S,P)=E(SP)-E(S)E(p)=E\big((X+Y)XY\big)-E(X+Y)E(XY)=2E(X^3)-2E(X^3)=0$.
Ma réponse est-elle correcte ? Merci.
Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes et de même loi.
On pose $S=X+Y$ et $P=XY$.
Calculons $cov(S,P)$
On a $cov(S,P)=E(SP)-E(S)E(p)=E\big((X+Y)XY\big)-E(X+Y)E(XY)$
Puisque $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes alors ($X$ et $Y^3$) et ($X^3$ et $Y$) le sont aussi et $E(XY)=E(X)E(Y)$ et donc par la linéarité de l’espérance on a : $cov(S,P)=E(SP)-E(S)E(p)=E\big((X+Y)XY\big)-E(X+Y)E(XY)=2E(X^3)-2E(X^3)=0$.
Ma réponse est-elle correcte ? Merci.
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Réponses
Mais $S+P$ et $SP$ ne sont pas indépendantes on ne peut pas appliquer lemme de coalitions sur $S$ et $SP$.
Comment te retrouves-tu avec du $X^3$ ? Pour moi le calcul est faux.
E(X^2)E(Y)+E(X)E(Y^2)-E(X)^2E(Y)-E(X)E(Y^2)=\\
E(Y)(E(X^2)-E(X)^2)+E(X)(E(Y^2)-E(Y^2))$
Voilà il ne te reste qu'à simplifier correctement tout ça et donc ton calcul était faux...
J'ai fait des erreurs, donc je refais:
$cov(S,P)=E\big((X+Y)XY\big)-E(X+Y)E(XY)=E\big(X^2Y+YX^2\big)-\big(E(X)+E(Y)\big)E(X)E(Y)$
donc $$cov(S,P)=E\big(X^2Y\big)+E\big(YX^2\big)-2\big(E(X)\big)^3.
$$ Maintenant puisque $X$ et $Y$ sont indépendantes alors ($X^2$ et $Y$ ) et ($X$ et $Y^2$ ) le sont aussi, donc $$cov(S,P)=E\big((X^2\big)E\big(Y\big)+E\big((Y^2\big)E\big(X\big)-2\big(E(X)\big)^3=2E\big((X^2)\big)E\big(X\big)-2\big(E(X)\big)^3=2\big(E(X)\big) V(X).$$