Covariance
Bonjour
Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes et de même loi.
On pose $S=X+Y$ et $P=XY$.
Calculons $cov(S,P)$
On a $cov(S,P)=E(SP)-E(S)E(p)=E\big((X+Y)XY\big)-E(X+Y)E(XY)$
Puisque $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes alors ($X$ et $Y^3$) et ($X^3$ et $Y$) le sont aussi et $E(XY)=E(X)E(Y)$ et donc par la linéarité de l’espérance on a : $cov(S,P)=E(SP)-E(S)E(p)=E\big((X+Y)XY\big)-E(X+Y)E(XY)=2E(X^3)-2E(X^3)=0$.
Ma réponse est-elle correcte ? Merci.
Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes et de même loi.
On pose $S=X+Y$ et $P=XY$.
Calculons $cov(S,P)$
On a $cov(S,P)=E(SP)-E(S)E(p)=E\big((X+Y)XY\big)-E(X+Y)E(XY)$
Puisque $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes alors ($X$ et $Y^3$) et ($X^3$ et $Y$) le sont aussi et $E(XY)=E(X)E(Y)$ et donc par la linéarité de l’espérance on a : $cov(S,P)=E(SP)-E(S)E(p)=E\big((X+Y)XY\big)-E(X+Y)E(XY)=2E(X^3)-2E(X^3)=0$.
Ma réponse est-elle correcte ? Merci.
Réponses
-
La covariance de deux variables aléatoires indépendantes est toujours nulle, ceci découle du fait que $E(XY)=E(X)E(Y)$ en cas d'indépendance.
-
Bonjour@ raoul.S
Mais $S+P$ et $SP$ ne sont pas indépendantes on ne peut pas appliquer lemme de coalitions sur $S$ et $SP$. -
ah oui désolé j'avais pas bien lu le message... ok il faut juste remplacer le cube par un carré.
-
Mon raisonnement est-il correct
-
Bonjour,
Comment te retrouves-tu avec du $X^3$ ? Pour moi le calcul est faux. -
$cov(S,P)=E(SP)-E(S)E(P)=E\big((X+Y)XY\big)-E(X+Y)E(XY)=\\
E(X^2)E(Y)+E(X)E(Y^2)-E(X)^2E(Y)-E(X)E(Y^2)=\\
E(Y)(E(X^2)-E(X)^2)+E(X)(E(Y^2)-E(Y^2))$
Voilà il ne te reste qu'à simplifier correctement tout ça et donc ton calcul était faux... -
Merci @raoul.S et @Calli.
J'ai fait des erreurs, donc je refais:
$cov(S,P)=E\big((X+Y)XY\big)-E(X+Y)E(XY)=E\big(X^2Y+YX^2\big)-\big(E(X)+E(Y)\big)E(X)E(Y)$
donc $$cov(S,P)=E\big(X^2Y\big)+E\big(YX^2\big)-2\big(E(X)\big)^3.
$$ Maintenant puisque $X$ et $Y$ sont indépendantes alors ($X^2$ et $Y$ ) et ($X$ et $Y^2$ ) le sont aussi, donc $$cov(S,P)=E\big((X^2\big)E\big(Y\big)+E\big((Y^2\big)E\big(X\big)-2\big(E(X)\big)^3=2E\big((X^2)\big)E\big(X\big)-2\big(E(X)\big)^3=2\big(E(X)\big) V(X).$$ -
(tu)
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 8 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
Qui est en ligne 2
2 Invités