Fonction de répartition

J'en pense que $x \mapsto e^{-x}$ ne peut pas être la (restriction à $[0, 1]$ de la) fonction de répartition d'une variable aléatoire puisqu'elle est décroissante !

Ton erreur se trouve dès la première équivalence. $X = - \ln(U)$ donc $X \leq x$ veut dire que $- \ln(U) \leq x$. Pourquoi avoir inversé le sens de l'inégalité ?

En probas, on préférerait parler d'égalité d'événements, plutôt que d'équivalence entre des assertions portant sur $\omega\in\Omega$.

Pour $x\ge 0$, on a ainsi l'égalité d'événements : $$
[\,\underbrace{X}_{{=-\ln(U)}\hspace{-5em}}
\leqslant x] =
[U \geqslant \mathrm{e}^{-x}],
$$ puis par passage aux probabilités : $\mathcal{F}_X(x) = 1-\mathcal{F}_{U}\big(\mathrm{e}^{-x}\big)$.