Fonctions de variables aléatoires

OShine · June 2020

Bonsoir,

Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes sur $(\Omega,\mathbb P)$ suivant une loi uniforme sur $[|1,n|]$. Déterminer les lois de $X+Y$ et $X-Y$.

Je ne comprends pas les disjonctions de cas pour $k$. Pourquoi on fait le cas $k \leq n+1$ et le cas $k \geq n+2$ ?

C'est où qu'on utilise $k \geq n+2$ pour montrer $k-n \leq i \leq n$ ?

Je suis complètement perdu :-( 104644

noobey · June 2020

Bon t'as regardé à la main quand X+Y= k ?
Ce problème n'a rien à voir avec les probabilités.

OShine · June 2020

$X+Y=k$ quand $k$ ne sort pas de l'intervalle $[|2,2n|]$ mais je ne comprends pas les disjonctions de cas.

Et par exemple, si $k \geq n+2$ pourquoi $k-n \leq i \leq n$?

Je suis bloqué dessus depuis hier soir je ne vois pas.

noobey · June 2020

Non mais si tu ecrivais a la main les couples qui fonctionnent pour n donné pour voir ce qu'il se passe... tu aurais déjà changé d'exo...

OShine · June 2020

Je n'ai pas compris.

noobey · June 2020

Pour n donné y a quoi comme couples qui donnent 0? 1? 2? 3? ... n? n+1? n+2? n+3? ...2n??

Bref demerde toi

Math Coss · June 2020

Il n'est pas impossible qu'un dessin puisse aider. 104664

_Julien_ · June 2020

$k -n \le 1 \Longrightarrow k \le n+1 \Longrightarrow k - 1 \le n $ et $k-n \le 1$.

$ k -n > 1 \Longrightarrow k \ge n+2 \Longrightarrow k - 1 \ge n + 1 \ge n $ et $k-n \ge 2$.

À partir de ces remarques, tu peux alors encadrer $i$ comme le propose le corrigé.

OShine · June 2020

Joli dessin mais je ne vois pas le lien direct avec les couples $(i,k-i)$ et les disjonctions de cas.

Soit $1 \leq i \leq n$
On cherche les couples $(i,k-i)$ tels que $k-n \leq i \leq k-1$

Je ne comprends pas comment on passe de $k \geq n+2$ à $k-n \leq i $ ....

Pareil, si $k \leq n+1$ comment on obtient $i \leq k-1$ ?

noobey · June 2020

Oshine fais comme je t'ai dit....

Alexique · June 2020

Bon, regarde attentivement :
si $k \leq n+1$ ET $k-n \leq i \leq k-1$ alors $k-n \leq 1 \leq i$ car $i$ est de toute façon $\geq 1$ comme valeur de l'image de $X$.
Pour la réciproque, si $i \leq k-1$, ben de toute façon $i$ peut pas dépasser $n$ vu que c'est encore une fois une valeur de l'image de $X$, donc $k-1 \leq n$.

Y'a rien à faire, juste manipuler des inégalités, et être vigilant sur là où vivent tes indices. Essaie l'autre équivalence.

OShine · June 2020

Alexique je n'ai rien compris.

Noobey
Le couple qui donne $2$ est $(1,1)$
Les couples qui donnent $3$ sont $(1,2)$ et $(2,1)$
Les couples qui donnent $n$ sont $(1,n-1), (2,,n-2), (n-1,1)$ etc...
Les couples qui donnent $n+1$ sont $(1,n), (2,n-1), \cdots (n-1,2)$
Le couples qui donne $2n$ sont $(n,n)$

Mais je ne suis pas plus avancé.

noobey · June 2020

Pour n+1 c'est faux
Fais la même pour n+2 et n+3 et écrit à droite pour tous les essais combien t'as de possibilités.

OShine · June 2020

Pour $n+1$ c'est $(n,1), (n-1,2), (n-3,3), \cdots (1,n)$ il y a $n$ possibilités.
Pour $n+2$ c'est $(n,2), (n-1,3), (n-2,4), \cdots (2,n)$ il y a $n-1$ possibilités.
Pour $n+3$ c'est $(n,3), (n-1,4), (n-2,5), \cdots (3,n)$ il y a $n-2$ possibilités.

Alexique · June 2020

Les équivalences à montrer sont sous réserve de deux conditions :
- $1 \leq i \leq n$
- $k-n \leq i \leq k-1$.

Une fois que tu dis considères ça vrai, les équivalences sont très faciles à montrer comme je l'ai fait. Je ne vois pas ce que tu ne comprends pas du coup.

L'implication $k \leq n+1 \implies 1 \leq i \leq k-1$ est trivial car $1 \leq i \leq k-1$ est toujours vrai (avec les hypothèses !!!). C'est la réciproque qui est plus pertinente.

Mais pour résumer : tu as deux encadrements de $i$ en hypothèse et le but c'est de les synthétiser en un seul :
donc on a $\text{max}(1,k-n) \leq i \leq \text{min}(n,k-1)$. Tu comprends bien qu'alors le cas $k=n+1$ est un cas "limite" donc on regarde $k \leq n+1$ et $k \geq n+2$...
T'es paumé sur des simples encadrements de lycée, c'est fou... encore une fois, parce que t'as pas cherché l'exo tout seul, cette disjonction de cas, tu la découvres au lieu de comprendre par toi-même pourquoi elle est nécessaire pour traiter l'exo.

noobey · June 2020

OShine écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?12,2035478,2035810#msg-2035810
[Inutile de recopier l'avant dernier message. Un lien suffit. AD]

Ok ça commence à faire tilt ?

OShine · June 2020

Noobey pas vraiment, je ne vois rien.

Je ne vois pas comment montrer : $1 \leq i \leq k-1 \implies k \leq n+1$

Pour le deuxième je ne vois pas comment montrer que $k-n \leq i \leq n \implies k \geq n+2$

Alexique · June 2020

RAAAAA tu ne lis rien, je te l'ai mis ! Si $i$ ne dépasse pas $k-1$, comme de toute façon il ne dépasse pas $n$, ça veut dire que $k-1 \leq n$. Parce que sinon, $i$ prend une valeur $k-1 \geq n+1$ ce qui est absurde.. Sérieux, allez, réveille-toi !!!

noobey · June 2020

Je ne sais pas quoi te dire... c'est peut-être trop dur pour toi de voir que le nombre de possibilités fait 1 2 .... n-1, n, n-1,...1

il vaut mieux que tu continues à faire des énoncés d'agreg interne et de feuilleter les rapports de jury...

OShine · June 2020

C'est ok pour moi et grâce à votre technique avec les min et max j'ai aussi compris pour la loi de $X-Y$ où j'étais aussi bloqué et on voit directement le cas maximal à considérer.

OShine · June 2020

Alexique, avec votre expression on retrouve tous les résultats. Le livre aurait du donner cette inégalité là :

$\boxed{ \max(1,k-n) \leq i \leq \min(n,k-1) }$ qui permet de répondre à toutes mes questions.

Si $k \leq n+1$ alors $\max (1,k-n) = 1$ et $\min(n,k-1)=k-1$ d'où $1 \leq i \leq k-1$

Si $k \geq n+2$ alors $\max (1,k-n) = k-n$ et $\min(n,k-1)=n$ d'où $k-n \leq i \leq n$

Noobey maintenant je comprends pourquoi vous m'avez demandé les différents cas, mais je trouve qu'on voit mieux avec les min et max.

Alexique · June 2020

Ben ui mais bon si $a \leq x$ et $b \leq x$, alors $\text{max}(a,b) \leq x$.. C'est un peu du niveau collège donc on te le met pas tout cuit sous le bec parce que c'est le genre de décodage qu'un sup peut faire tout seul avec une feuille, un stylo et des dessins quoi...

Après, tes corrigés sont jamais top mais quand on se donne la peine, ça peut aller. Je maintiens que comme tu ne fais aucun raisonnement tout seul, tu essayes de comprendre un raisonnement qui n'est pas de toi, pas personnel, pas issu de ton esprit donc qui va forcément te poser un peu souci. Ton truc encadré, en cherchant tout seul, tu l'aurais peut-être trouvé... et après tu aurais pu dire : "pas ouf ce corrigé" mais là, tu critiques sans trop avoir cherché donc bon...

J'ai juste vu sans réfléchir au reste de l'énoncé, deux encadrés de $i$ qu'il faut rassembler en un seul... Fais deux segments sur une droite réelle, regarde comment trouver l'intersection, franchement, y a rien à dire...

OShine · June 2020

Je regarde les corrigés car les variables aléatoires j'en ai jamais fait avant et j'essaie de comprendre le cours en lisant les corrections des exercices intégrés au cours. Il y a des propriétés que j'ai un peu de mal à assimiler.
Mais j'ai trop voulu comprendre le corrigé alors que j'aurai peut être trouvé plus vite tout seul.

Ceux de fin de chapitre j'essaierai de faire sans regarder.

Pour la loi de $X-Y$, pour tout $k \in [|-(n-1),n-1|]$ on a :

$\mathbb P(X-Y=k)= \dfrac{1}{n^2} card \{ j \in [|1,n|] | j+k \in [|1,n|] \}$

On veut $1 \leq j \leq n$ et $1-k \leq j \leq n-k$ soit $\max(1,1-k) \leq j \leq \min(n,n-k)$

On voit que le cas $k=0$ est crucial car on a alors $1 \leq j \leq n$. Il suffit de considérer $k \geq 0$ ou $k <0$

Fonctions de variables aléatoires

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