Additivité de la longueur

Bonjour,

Soit $\mathcal{A}$ le semi-anneau constitué des intervalles $]a,b]$, $a \leqslant b$. On définit $\ell \colon \mathcal{A} \to [0, +\infty[$ par $\ell\bigl(]a,b]\bigr) = b-a$.

Soit $\mathcal{I} = \bigl\{]a_i,b_i]\bigr\}_{i=1}^n$ une famille finie d'intervalles dans $\mathcal{A}$ telle que $\bigcup \mathcal{I} \in \mathcal{A}$, i.e. $\bigcup_{i=1}^n ]a_i,b_i] = ]a,b]$ où $a \leqslant b$.

Il s'agit de démontrer que $\ell\bigl(]a,b]\bigr) = \sum_{i=1}^n \ell\bigl(]a_i,b_i]\bigr)$.

On voit bien qu'il y a un réarrangement (une permutation) $\sigma$ des indices tel que $a = a_{\sigma(1)} \leqslant b_{\sigma(1)} = a_{\sigma(2)} \leqslant \cdots \leqslant b_{\sigma(n)} = b$, ce dont on déduit aisément l'égalité en question. On le "voit" sur un dessin, mais comment démontrer proprement qu'il y a un tel réarrangement ? Dans tous les livres ou autres documents que j'ai trouvés à ce propos, les auteurs ne le démontrent pas, ils font un "on voit bien que". Je n'arrive pas à le démontrer sans faire de "on voit bien que" et sans que ça ne soit trop lourd.