Démonstration indépendance
Bonsoir
Je bloque sur les 2 parties encadrées en rouge.
Pour la première je crois qu'il faut utiliser que l'intersection d'une union c'est l'union des intersections mais comment savoir quelles bornes je dois mettre à l'union et l'intersection. Ce n'est pas très clair. Le cours sur les ensembles donne que des cas simples à maximum 3-4 ensembles.
La deuxième je ne vois pas du tout.
Je bloque sur les 2 parties encadrées en rouge.
Pour la première je crois qu'il faut utiliser que l'intersection d'une union c'est l'union des intersections mais comment savoir quelles bornes je dois mettre à l'union et l'intersection. Ce n'est pas très clair. Le cours sur les ensembles donne que des cas simples à maximum 3-4 ensembles.
La deuxième je ne vois pas du tout.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Pour la deuxième c'est le même principe que pour terminer la première. Visualise les choses en prenant $n=2$.
Et puis $A_i' = A_i \cap X_i(\omega)$ qui dépend d'un petit $\omega$ bof... c'est sûrement $A_i'=A_i \cap X_i(\Omega)$..
Soit $\omega \in \Omega$. On a :
$$\omega \in \bigcap_{1 \leq i \leq n} \bigcup_{x_i \in A_i'} \{X_i=x_i\} \iff \forall i \in \left[|1,n|\right]\ \exists x_i \in A_i'\ \text{tel que}\ X_i(\omega)=x_i \iff \forall i \in \left[|1,n|\right],\ X_i(\omega) \in A_i' \\ \iff \left(X_1(\omega),...,X_n(\omega)\right) \in \prod_{1 \leq i \leq n} A_i' \iff...$$
Je te laisse finir.
En dimension 2 c'est déjà très dur mais on comprend les choses.
On a : $$\{X_i \in A_i \} = \bigcup_{x_i \in A_i '} \{X_i = x_i\}.$$ avec $A_i '= A_i \cap X_i (\Omega)$
On veut calculer $\displaystyle\bigcap_{i=1}^n \{X_i \in A_i \} = \displaystyle\bigcap_{i=1}^n \bigcup_{x_i \in A_i'} \{X_i = x_i\}.$
Pour $n=2$ prenons :
$ \{X_1 \in A_1 \} = \{X_1 = x_1 \} \cup \{X_1 =x_2 \}$ avec $(x_1,x_2) \in A_1 '$
$ \{X_2 \in A_2 \} = \{X_2 = x_3 \} \cup \{X_2 =x_4 \}$ avec $(x_3,x_4) \in A_2 '$
$\displaystyle\bigcap_{i=1}^2 \{X_i \in A_i \} = \{X_1 =x_1 \} \cap \{X_2 =x_3 \} \bigcup \{X_1 =x_2 \} \cap \{X_2 =x_3 \} \bigcup \{X_1 =x_1 \} \cap \{X_2 =x_4 \} \bigcup \{X_1 =x_2 \} \cap \{X_2 =x_4 \}$
Ce qui peut se réécrire sous la forme : $\boxed{\displaystyle\bigcap_{i=1}^2 \{X_i \in A_i \} = \bigcup_{(x_1,x_2) \in A_1 '} \bigcup_{(x_3,x_4) \in A_2 '} \bigcap_{i=1}^2 \{X_i=x_i \} }$
Je vais essayer de visualiser la deuxième pour $n=2$.
J'ai réussi à vérifier la deuxième somme en dimension 2.
Est-il utile de redémontrer tout ça ? On ne peut pas utiliser directement le fait que l'intersection de l'union c'est l'union des intersections ?
Après je ne sais pas trop comment trouver l'indice qu'on doit mettre dans l'union et dans l'intersection.
En gros, tu as $\bigcap_{i} \bigcup_{j \in A_i} \{\text{trucs qui dépendent de $j$ mais pas seulement} \}$ donc ça ne s'intervertit pas innocemment comme tu le sais par exemple pour les sommes doubles $\sum_{i \in I} \sum_{j \in A_i}= ???$.
Donc si tu veux intervertir sans te poser de questions comme le fait ton livre, tu peux.. mais donc le raisonnement n'est pas complet et si tu dois un jour le refaire et le justifier, c'est mort.
$$\omega \in \bigcap_{1 \leq i \leq n} \bigcup_{x_i \in A_i'} \{X_i=x_i\} \iff \forall i \in \left[|1,n|\right]\ \exists x_i \in A_i'\ \text{tel que}\ X_i(\omega)=x_i \iff \forall i \in \left[|1,n|\right],\ X_i(\omega) \in A_i' \\ \iff \left(X_1(\omega),...,X_n(\omega)\right) \in \prod_{1 \leq i \leq n} A_i' \iff... $$
$$\omega \in \bigcap_{1 \leq i \leq n} \bigcup_{x_i \in A_i'} \{X_i=x_i\} \iff \forall i \in \left[|1,n|\right]\ \exists x_i \in A_i'\ \text{tel que}\ X_i(\omega)=x_i \iff \forall i \in \left[|1,n|\right],\ X_i(\omega) \in A_i' \\ \iff \left(X_1(\omega),...,X_n(\omega)\right) \in \prod_{1 \leq i \leq n} A_i' \iff... \exists (x_i)_{1 \leq i \leq n} \in A_i' \ (X_1(w), \cdots X_n(w))=(x_1, \cdots x_n) \iff \\
\exists (x_i)_{1 \leq i \leq n} \in A_i' \ \forall i \in [|1,n|] \ X_i(w)=x_i \iff w \in \bigcup_{x_i \in A_1 \times \cdots \times A_n} \bigcap_{i=1}^n \{X_i=x_i \}$$
Le problème est que quand je raisonne je retourne en arrière et je retrouve la formule du départ.
Je n'arrive pas à continuer vers la formule à obtenir.
Rien de compliqué, il faut manipuler des uplets qui sont des éléments de produits cartésiens...
Tu vois là on est typiquement dans le genre d'exo où si tu avais la correction, tu dirais "no problem, je gère" (parce que quand tu auras toute l'équivalence tu diras "ben oui évidemment"), alors que là, tu peux même pas démarrer, et faire une étape supplémentaire. Je suis en train de tout faire.
Tu peux terminer ?
La fin c'est $\exists (x_i)_{1 \leq i \leq n} \in \displaystyle\prod_{i=1}^n A_i ' \ \ \forall i \in [|1,n |] \ X_i(w)=x_i \iff w \in \displaystyle\bigcup_{ (x_i)_{1 \leq i \leq n} \in A_1 \times \cdots \times A_n} \displaystyle\bigcap_{i=1}^n \{X_i =x_i \}$
Je n'ai pas compris le problème.
C'est un peu trop technique pour moi.
Bon, tu n'as pas été très proactif. Je te laisse l'être un peu plus pour intervertir somme et produit. Une façon de faire possible est par récurrence sur $n$. Mais ce n'est pas vraiment nécessaire si on est attentif et qu'on regarde bien la façon dont sont indexés les symboles...
En probabilités, je ne suis pas encore très à l'aise. Je n'avais jamais étudié ça avant.
Là encore essaye de prendre du recul... "Tiens, quel type de raisonnement ai-je fait ? Quelles compétences/capacités cela a-t-il requis ?"
Je te laisse faire la fin ou tu t'en fiches et tu préfères faire autre chose ? Ca serait bien que quand tu réponds, au lieu d'entretenir une discussion de comptoir, tu fasses toujours un petit raisonnement de maths quoi, sans te plaindre en mode "c'est dur, je découvre, c'est difficile".. Oui c'est sûr, mais on s'en fiche, ça viendra avec le temps.
\begin{align*}
\sum_{(x_1,\ldots,x_n) \in \prod_{i=1}^n A_i'} \prod_{i=1}^n \mathbb{P}(X_i=x_i) &= \sum_{x_n \in A_n'}\cdots\sum_{x_1 \in A_1'} \prod_{i=1}^n \mathbb{P}(X_i=x_i)=\sum_{x_n \in A_n'}\cdots\Big(\sum_{x_1 \in A_1'} \mathbb{P}(X_1=x_1) \Big) \prod_{i=2}^n \mathbb{P}(X_i=x_i) \\
&=\cdots =\Big(\sum_{x_n \in A_n'} \mathbb{P}(X_n=x_n) \Big)\cdots\Big(\sum_{x_1 \in A_1'} \mathbb{P}(X_1=x_1) \Big) = \prod_{i=1}^n \sum_{x_i \in A_i'} \mathbb{P}(X_i=x_i).
\end{align*} Pareil, rien de difficile, juste indexer la somme qui est sur un ensemble d'uplets par plusieurs sommes sur chaque composante. Pour éviter les petits points pas rigoureux, une récurrence est plus "propre" mais bon, on voit mieux ce qui se passe avant d'entamer une récurrence et je pense que dans certains cas, ça peut être accepté dans une copie.
J'ai finis le cours sur les probabilités et mis à part cette démonstration et une autre avec des grosses sommes et produits, je trouve que les démonstrations sur les probabilités sont abordables (j'ai trouvé la moitié seul sur les espérances variance) contrairement à certaines démonstrations d'algèbres sur les déterminants, les formes linéaires qui sont vachement dures.
Par contre les exercices mon niveau est pas terrible, je galère souvent.
Y a néanmoins beaucoup de concepts à connaitre en probas, qui sont souvent intuitifs mais qu'il faut savoir sinon tu vas te noyer dans un verre d'eau au concours.
Mais comme dit Noobey, ce topic (et un paquets d'autres), on s'en fout s'ils sont pas représentatifs de ce qui peut être attendu au CAPES et là, y'a pas de probas donc pas grave que tu sèches sur ce topic pour les probas.
Par contre, savoir montrer que des ensembles sont égaux par équivalences, bien manipuler des intersections/unions, des indexations... ça me semble primordial comme la logique, c'est les chapitres du début quoi, pas ce qu'on voit à la fin des révisions à une semaine du concours !
Je te l'ai dit en privé. Si je t'avais en face, bouquin poubelle, 20h de cours présentiel/semaine, autant personnel, tout reprendre depuis la 2nd et sur de très nombreuses années...Tu ne veux pas y mettre autant de temps, tu ne veux pas arrêter de lire des corrigés et par fierté, tu ne veux pas admettre que tu as une maitrise "fragile" des notions de lycée. Pourtant, tous ces problèmes d'urnes avec ou sans remise, c'est du dénombrement, des combinaisons, des arrangements... Tout ce qu'il y a dans les nouveaux programmes de lycée.
Et sinon, t'a regardé le programme ? T'a rien fait en groupe, Z/nZ, reste chinois (sur le forum en tout cas), ça veut dire que tu gères ou que tu sèches ?
Les questions sur les permutations est une épreuve BECEAS tombée le 20 juin 2020 et d'ailleurs c'est quasi impossible de trouver les corrigés des épreuves beceas.
Mais le dénombrement est loin d'être facile. D'après les rapports de jury seulement les meilleurs candidats maîtrisent le dénombrement.
J'ai lu des cours de théorie des groupes et des vidéos youtube donc je suis au point sur Z/nZ. Théorème chinois je n'ai pas travaillé.
Je pense que sur Z/nZ il faut savoir que c'est un anneau quotient sur la relation de congruence, son cardinal vaut $n$, c'est un anneau commutatif, $\bar{x}$ est inversible si et seulement si $PGCD(x,n)=1$ et Z/nZ est un corps si et seulement si $n$ est premier.
Une bande de 17 pirates possède un trésor constitué de pièces d'or d'égale valeur. Ils projettent de se les partager également, et de donner le reste au cuisinier chinois. Celui-ci recevrait alors 3 pièces. Mais les pirates se querellent, et six d'entre eux sont tués. Un nouveau partage donnerait au cuisinier 4 pièces. Dans un naufrage ultérieur, seuls le trésor, six pirates et le cuisinier sont sauvés, et le partage donnerait alors 5 pièces d'or à ce dernier. Quelle est la fortune minimale que peut espérer le cuisinier s'il décide d'empoisonner le reste des pirates ?
Attention à ne pas croire que, parce que la théorie est savante, les applications le sont forcément.
Ce problème, dès le primaire, peut donner lieu à des recherches.
Les problèmes de CAPES sont ben guidés généralement.
En tout cas, tu me confirmes que tu prépares on sait pas trop pourquoi l'agreg, on sait pas trop pourquoi avec le programme de MPSI, et par contre dans l'immédiat tu passes le CAPES dont tu ne connais pas tout le programme alors qu'il est quand même très succint ! Quelle logique...
Je connais le minimum vital.
Par contre le dénombrement je suis toujours aussi catastrophique.