Evènement et urne
$\newcommand{\card}{\mathrm{card\,}}$Bonsoir
Une urne contient $n$ boules indiscernables numérotées de $1$ à $n$, que l'on tire successivement sans remise. Pour $1 \leq i \leq n$, on note $u_i$ le numéro de la i-ème boule tirée. On considère la variable aléatoire $X$ qui a tout tirage fait correspondre le plus grand entier $k$ tel que $u_1 < \cdots < u_k$.
1) Déterminer la loi de $X$.
2) Montrer que $E(X)=\displaystyle\sum_{k=1}^n \mathbb P(X \geq k)$. Déterminer $\mathbb E(X)$.
On a $\card \Omega =n!$ et $X(\Omega)= [|1,n |]$
Je sais qu'il faut utiliser l'évènement $\{X \geq k \}$ mais je ne vois pas la différence ici entre $\{X \geq k \}$ et $\{X = k \}$.
Le livre donne $\{X \geq k \}$ est réalisé si et seulement si $u_1 < u_2 < \cdots < u_k$ mais je n'ai pas compris.
Après avec les techniques de dénombrement je sais trouver le nombre de listes $(u_1, \ldots ,u_k)$ vérifiant $1 \leq u_1 < u_2 < \cdots < u_k \leq n$.
Une urne contient $n$ boules indiscernables numérotées de $1$ à $n$, que l'on tire successivement sans remise. Pour $1 \leq i \leq n$, on note $u_i$ le numéro de la i-ème boule tirée. On considère la variable aléatoire $X$ qui a tout tirage fait correspondre le plus grand entier $k$ tel que $u_1 < \cdots < u_k$.
1) Déterminer la loi de $X$.
2) Montrer que $E(X)=\displaystyle\sum_{k=1}^n \mathbb P(X \geq k)$. Déterminer $\mathbb E(X)$.
On a $\card \Omega =n!$ et $X(\Omega)= [|1,n |]$
Je sais qu'il faut utiliser l'évènement $\{X \geq k \}$ mais je ne vois pas la différence ici entre $\{X \geq k \}$ et $\{X = k \}$.
Le livre donne $\{X \geq k \}$ est réalisé si et seulement si $u_1 < u_2 < \cdots < u_k$ mais je n'ai pas compris.
Après avec les techniques de dénombrement je sais trouver le nombre de listes $(u_1, \ldots ,u_k)$ vérifiant $1 \leq u_1 < u_2 < \cdots < u_k \leq n$.
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Réponses
La proba que X soit supérieur à k c'est la proba que les k premières valeurs soient bien classées (ce qui se passe après on s'en fout)
Il suffit donc de choisir k boules parmi n, et y a qu'une seule possibilité qui fonctionne et les n-k autres boules sont classées comme on veut
Donc $P(X \geq k) = ???$
Mais je ne comprends pas le sens de l’événement $\{X \geq k \}$.
On dit que $X$ donne le plus grand entier $k$ tel que $u_1 < u_2 < \cdots u_k$ Mais que signifie $\{X \geq k \}$ ? Je ne vois pas la différence avec $\{X = k \}$ dans cet exemple.
> Les calculs qui suivent ne me posent pas de
> difficultés.
>
> Mais je ne comprends pas le sens de
> l’événement $\{X \geq k \}$.
>
> On dit que $X$ donne le plus grand entier $k$ tel
> que $u_1 < u_2 < \cdots u_k$ Mais que signifie
> $\{X \geq k \}$ ? Je ne vois pas la différence
> avec $\{X = k \}$ dans cet exemple.
Ah oui c'est vrai les calculs sont corrigés pardon, normal que tu vois pas la difficulté du coup
Je ne vois pas comment trouver ce que signifie cet événement à partir de la définition de la variable aléatoire $X$.
$X$ est le plus grand entier $j$ tel que $u_1 < \cdots <u_j$
Mais comment traduire $\{X \geq k \}$ ?
Après vu que je n'ai pas compris ce que signifie l'événement $\{X \geq n+1\}$ ...
La stratégie d'étudier les événements d'anti-répartition $[T>t]$ est typique, et l'exemple le plus classique est celui de la loi géométrique. (rang d'apparition du premier succès dans un schéma de Bernoulli)
Cette approche des probas est vraiment à l'encontre du bon sens :
essayer de tout formuler en termes de dénombrement sur l'univers,
méconnaître les exemples fondamentaux (tout ce qui tourne autour du schéma de Bernoulli)
pas de conditionnement. (!)
Après, forcément, on obtient ça :
Si on prend 200 personnes au hasard dans la rue, un quart ou la moitié des gens auraient su répondre aux exercices que tu postais il y a 1 ou 2 semaines.
Là, tu t'attaques à autre chose. Cet exercice là, si on prend 200 personnes au hasard dans la rue, on n'est même pas certain d'en trouver une qui sait faire cet exercice.
On passe en 2 semaines d'un niveau très moyen (je joue au foot avec des copains, avec un ballon même pas règlementaire), à un niveau très élevé (la coupe du monde de foot, retransmise en direct dans le monde entier)
Tout ça en 2 semaines, sans entrainement spécifique !
En fait, si tu as 0 idée sur un problème, il vaut mieux le laisser tomber et opter pour un plus simple. C'est seulement si tu as des tentatives, des intuitions, que là, ça peut être fructueux de corriger/compléter ton raisonnement avec le corrigé. Bref, suivre linéairement ton bouquin en enchainant les corrigés comme à l'usine en pensant que plus tu en lis, plus tu vas être fort est illusoire et comme on te l'a déjà dit 1000 fois, ça sert à rien, tu ne sauras pas refaire ces raisonnements. Dans deux semaines, tu ne sauras pas trouver une loi hypergéométrique à partir d'un contexte similaire (tirage de boules dans des urnes..).
La formule du crible, par exemple que tu viens de poster, tu bloques sur la même chose (cette histoire de $k$ liste strictement croissante) qu'il y a 2 semaines.
Quand tu dis : "le reste je sais faire", j'insiste pas parce que tu ne vas faire que recopier un calcul que tu as lu sans le chercher donc évaluer ton "livre", ça ne m'intéresse pas.
En plus de tout ça, même si je te tape souvent dessus, force est de reconnaître que tout tes exos ne sont pas évidents.
Moi par exemple, je pensais qu'en lisant des corrigés dans le Francinou ou dans la RMS d'exos d'X/ENS j'allais accumuler plein d'idées et de schémas de raisonnements à imiter ou à adapter pour résoudre plein d'autres exos d'ENS. Ben ça marche pas de ouf, figure-toi et heureusement, j'ai envie de dire pour le mérite des candidats reçus et pour la richesse du raisonnement mathématique, qui n'est donc pas (en général) une recette de cuisine à modifier mais bien une nouvelle recette à créer à chaque fois.
Je n'ai pas envie de regarder les solutions mais il y a plein d'exercices difficiles dans ce livre.
Je devrais peut être m’entraîner sur des sujets de CCPINP les questions sont plus détaillées et d'un niveau raisonnable. J'ai lu des sujets, les exercices de probabilités sont faisables.
J'ai même croisé des questions que j'ai réussi à faire dans Centrale PSI 2019. J'ai mis du temps environ 30 minutes pour 2 questions et le temps de penser à faire un arbre mais j'ai quand même trouvé sans corrigé :
C'est quoi cette urne de Polya? Un autre sujet? C'est quoi la question? Tu veux des explications sur le corrigé que t ne comprends pas? Il faut préciser ta question.
On t'a déjà vu faire des exos étoilés alors que tu ne sais déjà pas faire les sans étoile. Ton livre s'adresse à quelqu'un d'autonome qui sait s'auto-évaluer et choisir ses exercices en fonction de ses capacités. Maintenant que j'ai accès à ton livre en numérique, je vois que tu ne fais que suivre exo par exo, chapitre par chapitre, sans spiraler, sans alterner analyse/algèbre... Bref, tu es pas du tout fait pour bosser en autodidacte.