Univers d'une somme de variables aléatoires

Bonjour
Il y a quelque chose qui me chiffonne.

Quand on pose $Z=X+Y $ il faut que $X$ et $Y$ soient définies sur le même univers.
Mais dans la pratique, souvent ce n'est pas le cas.
Je prends un exemple très simple pour l'illustrer ;

On lance 2 fois une pièce où il [est] écrit 0 d'un côté et 1 de l'autre.
Soit $X $ la V.A. qui donne le résultat du 1er lancer, et $Y$ le résultat du 2ème lancer.
$X$ et $Y$ suivent évidemment la loi de Bernoulli de paramètre $p=0,5$.

Soit $Z = X + Y$
Pour ajouter deux V.A. il faut qu'elles soient définies sur le même univers. Ici c'est $\Omega=\{(0;0);(0;1);(1;0);(1;1)\}$.
Mais du coup $X$ est définie sur cet univers également, ce qui n'est pas le cas au départ. C.à.d. de manière précise on a :
$X(0;0)=0; \ X(0;1)=0;\ X(1;0)=1;\ X(1;1)=1$
Peut-on encore affirmer que $X$ suit la loi de Bernoulli ? (L'univers ne contient plus 2 issues mais 4)
Et ne faudrait-il pas dans ce cas justifier que $p=0,5$ par le calcul suivant :
$p=P(X=1)=P((1;0))+P((1;1))=\frac 1 2 \times \frac 1 2+1/2.1/2=1/2$
(Calcul de la loi marginale si je ne dis pas de bêtise)

Je pense qu'ainsi on est rigoureux mais cela semble tellement inutile !
Bref comment concilier l'intuitif et le rigoureux ?
Merci d'avance.