Univers d'une somme de variables aléatoires
Bonjour
Il y a quelque chose qui me chiffonne.
Quand on pose $Z=X+Y $ il faut que $X$ et $Y$ soient définies sur le même univers.
Mais dans la pratique, souvent ce n'est pas le cas.
Je prends un exemple très simple pour l'illustrer ;
On lance 2 fois une pièce où il [est] écrit 0 d'un côté et 1 de l'autre.
Soit $X $ la V.A. qui donne le résultat du 1er lancer, et $Y$ le résultat du 2ème lancer.
$X$ et $Y$ suivent évidemment la loi de Bernoulli de paramètre $p=0,5$.
Soit $Z = X + Y$
Pour ajouter deux V.A. il faut qu'elles soient définies sur le même univers. Ici c'est $\Omega=\{(0;0);(0;1);(1;0);(1;1)\}$.
Mais du coup $X$ est définie sur cet univers également, ce qui n'est pas le cas au départ. C.à.d. de manière précise on a :
$X(0;0)=0; \ X(0;1)=0;\ X(1;0)=1;\ X(1;1)=1$
Peut-on encore affirmer que $X$ suit la loi de Bernoulli ? (L'univers ne contient plus 2 issues mais 4)
Et ne faudrait-il pas dans ce cas justifier que $p=0,5$ par le calcul suivant :
$p=P(X=1)=P((1;0))+P((1;1))=\frac 1 2 \times \frac 1 2+1/2.1/2=1/2$
(Calcul de la loi marginale si je ne dis pas de bêtise)
Je pense qu'ainsi on est rigoureux mais cela semble tellement inutile !
Bref comment concilier l'intuitif et le rigoureux ?
Merci d'avance.
Il y a quelque chose qui me chiffonne.
Quand on pose $Z=X+Y $ il faut que $X$ et $Y$ soient définies sur le même univers.
Mais dans la pratique, souvent ce n'est pas le cas.
Je prends un exemple très simple pour l'illustrer ;
On lance 2 fois une pièce où il [est] écrit 0 d'un côté et 1 de l'autre.
Soit $X $ la V.A. qui donne le résultat du 1er lancer, et $Y$ le résultat du 2ème lancer.
$X$ et $Y$ suivent évidemment la loi de Bernoulli de paramètre $p=0,5$.
Soit $Z = X + Y$
Pour ajouter deux V.A. il faut qu'elles soient définies sur le même univers. Ici c'est $\Omega=\{(0;0);(0;1);(1;0);(1;1)\}$.
Mais du coup $X$ est définie sur cet univers également, ce qui n'est pas le cas au départ. C.à.d. de manière précise on a :
$X(0;0)=0; \ X(0;1)=0;\ X(1;0)=1;\ X(1;1)=1$
Peut-on encore affirmer que $X$ suit la loi de Bernoulli ? (L'univers ne contient plus 2 issues mais 4)
Et ne faudrait-il pas dans ce cas justifier que $p=0,5$ par le calcul suivant :
$p=P(X=1)=P((1;0))+P((1;1))=\frac 1 2 \times \frac 1 2+1/2.1/2=1/2$
(Calcul de la loi marginale si je ne dis pas de bêtise)
Je pense qu'ainsi on est rigoureux mais cela semble tellement inutile !
Bref comment concilier l'intuitif et le rigoureux ?
Merci d'avance.
Réponses
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Hello il faut faire très gaffe à quelque chose en probabilité : la gueule de l'univers on s'en fout.
Imagine que j'ai envie de faire l’expérience suivante : je choisis un jour au hasard dans l'année un individu au hasard sur terre uniformément je mesure sa taille en cm à cet instant précis.
Ensuite je rajoute le nombre de secondes à laquelle j'ai posté ce message 10h09 X secondes. Puis enfin je lance une pièce je rajoute 1 si j'ai pile et 0 si j'ai face.
Le truc que j'obtiens c'est bien une variable aléatoire c'est juste que l'univers ici est compliqué et qu'en règle générale à part pour débuter en probabilité pour expliquer les principes de base on ne va jamais en parler.
Dans ton cas en effet ton univers pourrait être décrit par
$\Omega = \Omega_1 \times \Omega_2$ avec $\Omega_1 = \{0,1\}$.
Mais j'aurais très bien pu rajouter l'info "jour de la semaine" dans Omega que tu aurais exactement la même expérience avec les mêmes résultats.
$\Omega = \{(x_1,x_2,\text{jour})\}$ avec $x_i = 0$ ou $1$ et jour le jour de la semaine est un univers adapté à l’expérience
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Bonjour!
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