Ensemble non mesurable

Bonjour Magnus,

L'idée est d'écrire que $\mathbb R= \bigsqcup _{q\in\mathbb Q}(qe_{i_0}+A)$.
Mais pour aboutir à une contradiction, il vaut mieux s'intéresser à $A\cap[0;1]$ qui aurait alors une mesure strictement positive. En écrivant
$$[0;1]= \bigsqcup _{q\in\mathbb Q}(qe_{i_0}+A)\cap [0;1]$$
on aboutit à $\lambda([0;1])=+\infty$.

Effectivement,
Une première possibilité est de reprendre le raisonnement avec cet intervalle $[a;b]$,
une deuxième est de dire que $A\cap[n;n+1]=n+A\cap[0;1]$ puis d'utiliser l'invariance par translation de $\lambda$ pour obtenir $\lambda(A\cap[0;1])>0$, mais pour cela il faut que $i_0$ soit choisi de telle façon que $1\in A$.

Si $S$ est un supplémentaire de $\mathbb Q$ dans $\mathbb R$ alors $S \cap [0, 1]$ est un ensemble de Vitali.

Voilà ce que j'ai réussi à faire.

L'écriture $$\mathbb R= \bigsqcup _{q\in\mathbb Q}(qe_{i_0}+A)$$ donne facilement $\lambda(A) > 0$ (sous l'hypothèse $A$ mesurable, que l'on va montrer absurde).

Elle donne également que pour tout $a < b$, on a $$[a, b] = \bigsqcup _{q\in\mathbb Q}(qe_{i_0}+A) \cap [a, b] = \bigsqcup _{q\in\mathbb Q}(A \cap[a-qe_{i_0}, b-qe_{i_0}]) + qe_{i_0}$$ d'où par invariance par translation de la mesure de Lebesgue : $$\lambda([a, b]) = \sum_{q \in \mathbb Q} \lambda(A \cap [a-qe_{i_0}, b-qe_{i_0}]).$$ Maintenant on oublie la plupart des $q$ et on en sélectionne certains pour que les $A \cap [a-qe_{i_0}, b-qe_{i_0}]$ recouvrent $\mathbb R$ de manière disjointe, il suffit de prendre les $q=k \frac{b-a}{e_{i_0}}$ avec $k \in \mathbb Z$ ($e_{i_0} \neq 0$ puisque $(e_i)_{i \in I}$ est une $\mathbb Q$-base de $\mathbb R$).

On a donc $$\lambda([a, b]) \geq \sum_{k \in \mathbb Z} \lambda(A \cap [a-k(b-a), b-k(b-a)]) = \lambda(A) > 0$$ ce qui est manifestement absurde puisque $a$ et $b$ étaient quelconque.