De quel type de tirage s'agit-il ?

d3n15
d3n15
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour
Je rencontre un petit problème de méthode en effet, je ne suis pas bien sûr du cas de figure, en probabilité, qui concerne le problème que je vais vous exposer.

Étant donné un sac de n boules. Chaque boule a la même probabilité (une chance sur deux) d'être blanche, ou noire.
On révèle ces boules, en les alignant sur une rampe. Leur ordre de disposition sur la rampe est aléatoire et chaque boule est à présent numérotée/indexée de 1 à n.
En considérant les cinq premières boules ainsi agencées sur la rampe il me semble qu'on peut affirmer que la probabilité que celles-ci soient toutes blanches est de 1/32.

À présent, en gardant mes boules en l'état, disposées sur la rampe.
Est-ce que si j'évalue le même type d'événement (cinq boules blanches consécutives) à partir de la boule 2 jusqu'à la boule 6, la probabilité est identique ? et ainsi de suite (boule 3 à 7), etc.
En d'autres termes, la probabilité de l'événement qui m'intéresse, dans ces sous-ensembles qui se recoupent, se calcule-t-elle en ignorant les autres boules ?

Pour ce problème, j'ai consulté cette page: https://fr.wikipedia.org/wiki/Problème_d'urne#Types_de_tirages_et_dénombrement mais ça ne m'a malheureusement pas plus avancé...
Merci d'avance !

Réponses

  • marsup
    marsup
    Si, comme c'est souvent sous-entendu en probas, tout est indépendant de tout, oui, la couleur des premières boules tirées ne change rien pour les suivantes. En l'occurrence le rang de tirage des boules ne change rien non plus.

    Si tu prends un sous-ensemble $S\subset1:n$, et des couleurs comme tu veux $\phi:S\to \{\text{noir,blanc}\}$, alors la probabilité de l'événement [$\forall s\in S$, la boule $s$ est de couleur $\phi(s)$] est $\dfrac{1}{2^{\text{card}(S)}}$.

    Je ne comprends pas trop pourquoi tu parles de sous-ensembles qui se recoupent.

    Tu cherches la probabilité de ces événements un par un, non ? Qu'est ce que ça change qu'ils se recoupent ?
  • d3n15
    d3n15
    Et bien ça se recoupe dans le sens où le second sous-ensemble de boule (2 à 6) inclut des boules du premier sous-ensemble (1 à 5) dont on a déjà évalué la probabilité de l'événement. Du coup non, ce n'est pas un par un je crois. Cela fait-il une différence ? Peut-être que j'ai mal posé mon problème ?
  • marsup
    marsup
    La probabilité que les boules 1..5 soient blanches est $\frac{1}{32}$.
    La probabilité que les boules 2..6 soient blanches est $\frac{1}{32}$.
    La probabilité que les boules 3..7 soient blanches est $\frac{1}{32}$.
    La probabilité que les boules k..k+4 soient blanches est $\frac{1}{32}$.
  • d3n15
    d3n15
    C'est bien ce qu'il me semblait, je te remercie.
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