Densité d'un produit
Bonjour,
Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes de densités respectives
$f_X(x) = \frac{1}{\pi} \frac1{\sqrt{1-x^2}}$ pour $|x| < 1$ et $f_Y(y) = \frac{y}{\sigma^2} \exp(-\frac{y^2}{2\sigma^2})$ pour $y > 0$.
Je cherche la densité du produit $W = XY$ si possible sans passer par la formule générale.
En passant par la fonction de répartition, je trouve que pour $w > 0$, on a $$
F_W(w)
= \displaystyle \int_0^w f_Y(y) \mathrm{d}y + \frac{1}{\pi}\int_1^{+\infty} \frac{w^2z}{\sigma^2}\exp\Big(-\frac{w^2z^2}{2\sigma^2}\Big)\arcsin\Big(\frac1z\Big) \mathrm{d}z + \frac12 \int_w^{+\infty} f_Y(y)\mathrm{d}y.
$$Et je me retrouve bloqué car l'intégrale du milieu n'a pas une dérivée calculable à ma connaissance.
Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes de densités respectives
$f_X(x) = \frac{1}{\pi} \frac1{\sqrt{1-x^2}}$ pour $|x| < 1$ et $f_Y(y) = \frac{y}{\sigma^2} \exp(-\frac{y^2}{2\sigma^2})$ pour $y > 0$.
Je cherche la densité du produit $W = XY$ si possible sans passer par la formule générale.
En passant par la fonction de répartition, je trouve que pour $w > 0$, on a $$
F_W(w)
= \displaystyle \int_0^w f_Y(y) \mathrm{d}y + \frac{1}{\pi}\int_1^{+\infty} \frac{w^2z}{\sigma^2}\exp\Big(-\frac{w^2z^2}{2\sigma^2}\Big)\arcsin\Big(\frac1z\Big) \mathrm{d}z + \frac12 \int_w^{+\infty} f_Y(y)\mathrm{d}y.
$$Et je me retrouve bloqué car l'intégrale du milieu n'a pas une dérivée calculable à ma connaissance.
Réponses
-
Comme le calcul direct de la densite est assommant, je calcule plutot $\mathbb{E}((|X|Y)^s)$ et je trouve $Z=XY$ est une loi normale.
-
Bonjour
Effectivement le calcul de la fonction de répartition semble difficile mais est-ce que tu as le bon calcul?
Pour moi (avec $w>0$) on a $$
F_w(w)=\int_{x=0}^1 f_X(x)\Big( \int_0^{w/x} f_Y(y) dy \Big) dx .
$$ Ça ne ressemble pas trop à ton calcul. -
Merci pour vos réponses.
@P. Pourrais-tu détailler les calculs des espérances ? Je n'ai pas étudié les relations fonctionnelles concernant $\Gamma$.
@bd2017: je suis parti dans l'autre sens ie en remarquant plutôt que $W \leq w \iff X \leq w/Y$ puisque $Y > 0$; la borne pour $x$ devient alors $\min\{1, w/y\}$ et je sépare alors l'intégrale en deux.
Sinon, j'ai réussi à m'en sortir en considérant la densité jointe de $(XY, \arcsin(X))$ qui est, après calcul, $\displaystyle \frac{|w|}{\pi \sigma^2} \frac1{\sin^2 z}\exp(-\frac{w^2}{2\sigma^2 \sin z})$ et on trouve alors la densité marginale de $W$ en intégrant en $z$ grâce à $y = \dfrac1{\sin z}$ puis $x = \sqrt{y^2-1}$ ; je trouve une loi normale centrée de variance $\sigma^2$. -
Bonjour
Sinon en procédant comme j'ai dit : $\displaystyle F(w)=\int_0^1 \frac{1-e^{-\frac{w^2}{2 x^2 \sigma ^2}}}{\pi \sqrt{1-x^2}} dx . $
Donc $\displaystyle f(w)=F'(w)=\int_0 ^1 \dfrac{e^{-\frac{w^2}{2 x^2 \sigma ^2}} w}{\pi x^2 \sqrt{1-x^2} \sigma ^2} dx ,$
et cette dernière intégrale se calcule avec le changement de variable $x=1/ u$ (puis $t=\sqrt{x^2-1}) $ pour la suivante,
et on retrouve bien la loi normale.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.2K Toutes les catégories
- 9 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 65 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 69 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 314 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 773 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
Qui est en ligne 20
+13 Invités