Univers jeton
Bonsoir,
Une urne contient $n$ jetons $(n \geq 2)$ numérotés de $1$ à $n$. On tire une poignée de jetons (une partie éventuellement vide de l'ensemble des jetons). On note N le nombre de jetons tirés, et S la somme des jetons tirés. Enfin, pour tout $i \in [|1,n|]$, on note $X_i$ la variable aléatoire de Bernoulli qui vaut $1$ si le ième jeton est dans la poignée et $0$ sinon.
On suppose que toutes les pognées sont équiprobables.
1/ Déterminer la loi de $N$, son espérance et sa variance.
2/ Déterminer la loi de $X_i$. Montrer que les variables $X_i$ sont 2 à 2 indépendantes.
3/ Exprimer $S$ en fonction des $X_i$. Calculer $\mathbb E(S)$ et $\mathbb V(S)$.
Je bloque sur l'univers, comme d'habitude. Je n'ai pas regardé le corrigé juste le début pour vérifier l'univers et je vois $card \Omega =2^n$ je ne comprends pas.
On a $N(\Omega)=[|0,n|]$ et on veut calculer $\mathbb P(N=k)$ pour $k \in [|0,n|]$
Une urne contient $n$ jetons $(n \geq 2)$ numérotés de $1$ à $n$. On tire une poignée de jetons (une partie éventuellement vide de l'ensemble des jetons). On note N le nombre de jetons tirés, et S la somme des jetons tirés. Enfin, pour tout $i \in [|1,n|]$, on note $X_i$ la variable aléatoire de Bernoulli qui vaut $1$ si le ième jeton est dans la poignée et $0$ sinon.
On suppose que toutes les pognées sont équiprobables.
1/ Déterminer la loi de $N$, son espérance et sa variance.
2/ Déterminer la loi de $X_i$. Montrer que les variables $X_i$ sont 2 à 2 indépendantes.
3/ Exprimer $S$ en fonction des $X_i$. Calculer $\mathbb E(S)$ et $\mathbb V(S)$.
Je bloque sur l'univers, comme d'habitude. Je n'ai pas regardé le corrigé juste le début pour vérifier l'univers et je vois $card \Omega =2^n$ je ne comprends pas.
On a $N(\Omega)=[|0,n|]$ et on veut calculer $\mathbb P(N=k)$ pour $k \in [|0,n|]$
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Réponses
Une poignée de jetons, éventuellement vide, est clairement un élément de $\mathfrak{P}(\N_n)$, de cardinal $2^n$. J'ai posé $\N_n=[1,\,n]\cap\N$.
Cordialement,
Thierry
Ils auraient du préciser vraiment qu'on tire uniformément sur l'ensemble des parties de 1,n lol parce que là c'est vraiment bizarre, formulé ainsi.
Bon sachant ça, tu peux faire la suite (et sans regarder le corrigé svp)
Soit $k \in [|0,n|]$. On a $\mathbb P(X=k)= \dfrac{\binom{n}{k}}{2^n} =\binom{n}{k} (\dfrac{1}{2})^k (1-\dfrac{1}{2})^{n-k} $
Donc $N$ suit une loi binomiale $\mathbb B(1,\dfrac{1}{2})$ et donc $\mathbb E(X)=\dfrac{n}{2}$ et $\mathbb V(X)=\dfrac{n}{4}$
Le reste de l'exercice ne m'a pas trop posé de problème, on utilise du dénombrement et le nombre de parties quand on fixe un ou 2 éléments.
T'es rapide quand même :-S
$\mathbb P(X_1=1)= \dfrac{2^{n-1}}{2^n}=\dfrac{1}{2}$ car il y a $2^{n-1}$ poignées contenant le jeton $1$.
$A=\{i; X_i=1\}.$ La probabilite pour que $A$ soit egal a un sous ensemble $a$ de $E$ particulier est donc
$$\Pr(A=a)=\prod_{i\in a}\Pr(X_i=1)\times \prod_{i\in E\setminus a}\Pr(X_i=0)=\frac{1}{2^n}.$$ Donc les $a$ sont equiprobables. Cela prouve que les $X_i$ tels que definis dans l'enonce sont bien de la forme ci dessus, en particulier sont independants et de meme loi . Pour conclure
$$N=X_1+\ldots+X_n, \ S=X_1+2X_2+\cdots+nX_n$$ et pour calculer esperance et variance eh bien c'est l'ane qui trotte.
Ca donne comme variances $n/4$ et $(1+4+\cdots+n^2)/4$ que je ne sais pas par coeur mais qui doit etre equivalent a $n^3/12.$
Et pour repondre a marsup qui demande (pourquoi diable) la correlation asymptotique entre $N$ et $S$ on a $$\mathrm{cov}(N,S)=\mathbb{E}\left(X_1-\frac{1}{2}\right)^2+2\mathbb{E}\left(X_2-\frac{1}{2}\right)^2+\cdots+n\mathbb{E}\left(X_n-\frac{1}{2}\right)^2=\frac{n(n+1)}{8}$$ ce qui fait une correlation asymptotique de $\sqrt{3}/2$
Je ne trouve pas ça plus simple que le corrigé de mon livre bien au contraire.
Je me demandais juste si ça donnerait 0 ou 1, mais je suis content que ce soit entre les deux.