Urne et variable aléatoire
Bonsoir,
C'est moi ou la question 3)a) est infaisable ?
Jamais vu un truc aussi dur en probabilité.
Je n'ai même pas l'impression d 'avoir vu les formule des probabilités totales avec la double somme et tous les cas auxquels il faut penser c'est impressionnant.
J'ai mis 30 minutes à comprendre la correction en faisant des schéma mais qui peut trouver ça à part un surdoué ?
Le corrigé n'explique pas pourquoi $P(Y_i=k,Y_j=l)=\dfrac{1}{(n+1)^2}$
Mais il me semble que $P(Y_i=k)=\dfrac{1}{n+1}$ et $P(Y_j=l)=\dfrac{1}{n+1}$ puis il suffit de dire qu'il y a indépendance ?
C'est moi ou la question 3)a) est infaisable ?
Jamais vu un truc aussi dur en probabilité.
Je n'ai même pas l'impression d 'avoir vu les formule des probabilités totales avec la double somme et tous les cas auxquels il faut penser c'est impressionnant.
J'ai mis 30 minutes à comprendre la correction en faisant des schéma mais qui peut trouver ça à part un surdoué ?
Le corrigé n'explique pas pourquoi $P(Y_i=k,Y_j=l)=\dfrac{1}{(n+1)^2}$
Mais il me semble que $P(Y_i=k)=\dfrac{1}{n+1}$ et $P(Y_j=l)=\dfrac{1}{n+1}$ puis il suffit de dire qu'il y a indépendance ?
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Réponses
Notons $S_p$ le nombre d'elements de l'ensemble aleatoire des numeros des boules qui ont ete tirees aux instants $1,\ldots,n$, puis $a_p=\mathbb{E}(S_p)$ et $r=n/(n+1).$ Notons que $S_p=X_1+\cdots+X_p.$ Alors
$$\Pr(S_p=S_{p-1}|S_{p-1})= S_{p-1}/(n+1)\ \ \Rightarrow \mathbb{E}(S_p|S_{p-1})=1+rS_{p-1} \Rightarrow a_p=1+ra_{p-1} \Rightarrow a_p-a_{p-1} =r(a_{p-1}-a_{p-2})$$ Donc
$$\Pr(X_p=1)=\mathbb{E}(S_p-S_{p-1}) =a_p-a_{p-1} =r^{p-1}(a_1-a_0)=r^{p-1}.$$
En gros, on divise par 10 la difficulté, puisqu'on te donne le résultat.
Si on te disait : calculer P ( .. ... ) , ce serait une autre histoire !
Tu te fous de nous ? Ton précédent exo de proba ici, on notait $X_i$ qui valait 1 si le ième jeton était tiré et 0 sinon, il fallait trouver la loi des $X_i$ et dire pourquoi c'était indépendant, tu nous as dit "yes, je gère" et alors on note $Y_p$ au lieu de $X_i$ avec $n+1$ choix au lieu de $n$ et tu viens chouiner que tu comprends pas ? Tu vois que quand tu lis le corrigé, tu retiens rien et tu sais pas refaire le lendamain.
Alexique, quand je change d'exercice j'oublie le précédent.
C'est un tirage avec remise, donc les événements sont indépendants. Tirer le numéro d'une boule au ième tirage n'a aucune incidence sur le fait de tirer une boule au jème tirage.
Le capésien sans mémoire, un nouveau concept :-D
Cordialement,
Rescassol
Pour l'instant j'ai retenu quelques concepts simples et quelques théorèmes : théorème des probabilité totales, inégalité de Markov, théorème de transfert, comment calculer une espérance, une variance, linéarité de l'espérance, loi marginale.
Par exemple, la définition de la limite et de la continuité avec les epsilon, ça a pris quasiment 1 an avant d'être clair pour moi, maintenant c'est acquis et je comprends l'ordre et le rôle de chaque quantificateur.
Alors la fonction partie entière est continue en x=1? Oui , non ? Justifier avec les epsilon.
La fonction partie entière est continue en x=1/2? Oui , non ? Justifier avec les epsilon.
On doit montrer $\forall \varepsilon>0 \ \exists \eta >0 \ \forall x \in \R \ |x-\dfrac{1}{2} | \leq \eta \implies |E(x)| \leq \varepsilon$ car $E(1/2)=0$
Soit $\varepsilon >0$ fixé.
En choisissant $\eta=\dfrac{1}{4}$ (on s'aide d'un dessin) on a $x \in [\dfrac{1}{4},\dfrac{3}{4}]$ et on a bien $|E(x)|= 0 < \varepsilon$
La fonction partie entière n'est pas continue en $1$ car elle n'est pas continue à gauche en $1$.
C'est trop galère avec les epsilons, il faut faire la négation de la définition, mieux vaut utiliser la limite à droite différente de la limite à gauche.
Pour $\delta>0$, on a : $\lfloor1-\delta\rfloor\le 0 < \lfloor1\rfloor - \epsilon$ pour $\epsilon$ assez petit ($\epsilon<1$ suffit).
Mais ta réponse a la première question est convaincante, donc le semi-bluff de dire "on fait un dessin" passe un peu mieux. (tu)
Mais la définition est de la non continuité est si on prends $\varepsilon= 1/2$
$\forall \eta >0 \ \exists x \in \R \ |x-1| \leq \eta \ \text{et} \ |E(x)-1| > 1/2$
Je ne vois pas, un peu dur pour moi.
J'ai essayé $x= \eta+1$ mais ça ne fonctionne pas car $E(\eta)$ peut être nulle.
$\forall \eta\in ]0,1[,$ on a $|1-(1-\eta/2)| <\eta$ et $|E(1)-E(1-\eta/2)|= 1.$ Ce qui montre que la fonction E n'est pas continue en $x=1$
Bd votre solution est très claire. J'aurais du penser à fixer $\eta$ petit. Si c'est valable pour $\eta$ petit c'est valable pour tous les $\eta$.
Si elle était continue en 1, elle serait alors continue sur $]0;2[$, et les valeurs intermédiaires s'appliqueraient alors, donc bon, on voit bien que ça clocherait...