Loi des grands nombres pour les nuls
Bonjour,
je ne fais jamais de probabilités et encore moins de statistique et j'ai un niveau très faible d'autant plus qu'étudiant j'étais complétement hermétique à cette discipline.
J'étais en train de méditer sur deux situations différentes qui devraient donner le même résultats mais je ne sais pas comment le justifier théoriquement.
Pour un entier $N$ aussi grand que nécessaire je m'amuse à
J'imagine que c'est un cas d'école utracourant, mais curieusement je n'ai pas trouvé grand chose sur internet (je ne sais pas quels mots clés donner au moteur de recherche).
Voici ma maigre réflexion (attention la médaille Fields n'est pas loin !).
Histoire de bien tourner autour du pot pour être certain de comprendre
En espérant ne pas avoir raconté de bêtise, c'est ici que je patine. Quand ces moyennes convergent, j'ai l'impression que la loi forte des grands nombres me dit que si $N$ tend vers l'infini alors la variable aléatoire (moyenne empirique) tend vers une constante (donc ce n'est plus une variable aléatoire) dont la valeur est précisément l'espérance d'un des $Y_i$ (étant donné que chaque variable aléatoire suit la même loi elles ont notamment toutes la même espérance) et cette espérance peut être obtenue comme la moyenne d'une infinité de réalisations d'une seule variable.
Bref, pour résumer, est-ce la loi forte des grands nombres qui permet de dire que la moyenne des réalisations et égale à une réalisation de la moyenne (quand on un grand nombre) et que c'est ce qui rend légitime les sondages par exemple ?
Je vous remercie énormément par avance pour vos lumières.
Cordialement,
Mister Da
je ne fais jamais de probabilités et encore moins de statistique et j'ai un niveau très faible d'autant plus qu'étudiant j'étais complétement hermétique à cette discipline.
J'étais en train de méditer sur deux situations différentes qui devraient donner le même résultats mais je ne sais pas comment le justifier théoriquement.
Pour un entier $N$ aussi grand que nécessaire je m'amuse à
- Lancer $N$ fois $1$ pièce de monnaie.
- Lancer $1$ fois $N$ pièces de monnaies.
J'imagine que c'est un cas d'école utracourant, mais curieusement je n'ai pas trouvé grand chose sur internet (je ne sais pas quels mots clés donner au moteur de recherche).
Voici ma maigre réflexion (attention la médaille Fields n'est pas loin !).
- Dans la première expérience, nous observons $N$ réalisations $x_1,\dots x_N$ d'une variable aléatoire $X$ (la pièce).
- Dans la seconde, nous observons $1$ réalisation de $N$ variables aléatoires (qui suivent toutes la même loi). Je vais noter $y_k$ la réalisation de la $k$ième variable aléatoire $Y_k$.
Histoire de bien tourner autour du pot pour être certain de comprendre
- Dans la première expérience, $\bar{x} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i$ est la moyenne des $N$ réalisations de la variable aléatoire $X$.
- Dans la seconde, $\bar{y} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N y_i$ est une réalisation de la moyenne empirique qui est la variable aléatoire $\bar{Y} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N Y_i$.
En espérant ne pas avoir raconté de bêtise, c'est ici que je patine. Quand ces moyennes convergent, j'ai l'impression que la loi forte des grands nombres me dit que si $N$ tend vers l'infini alors la variable aléatoire (moyenne empirique) tend vers une constante (donc ce n'est plus une variable aléatoire) dont la valeur est précisément l'espérance d'un des $Y_i$ (étant donné que chaque variable aléatoire suit la même loi elles ont notamment toutes la même espérance) et cette espérance peut être obtenue comme la moyenne d'une infinité de réalisations d'une seule variable.
Bref, pour résumer, est-ce la loi forte des grands nombres qui permet de dire que la moyenne des réalisations et égale à une réalisation de la moyenne (quand on un grand nombre) et que c'est ce qui rend légitime les sondages par exemple ?
Je vous remercie énormément par avance pour vos lumières.
Cordialement,
Mister Da
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Réponses
À ce niveau d'imprécision, ce n'est toutefois pas très utile de distinguer lois faible/forte des grands nombres.
merci ! Tu me redonnes espoir ! En fait, ma question était de manière générale : y a-t-il des choses fausses dans ce que je raconte. J'avais peur d'avoir une mauvaise conception de l'affaire. Je partais mal au départ, pendant longtemps j'ai pensé que la moyenne empirique c'était la moyenne arithmétique de plein de réalisations d'une seule variable aléatoire...
Merci pour ta remarque, j'avais précisé "forte" car stratégiquement qui peut le plus peut le moins. En fait, qu'elle soit faible ou forte, la loi des grands nombres dit que "la moyenne empirique est un estimateur convergent de l'espérance" (wikipédia) et vu mon niveau de vulgarisation ça suffit.
Tant mieux car j'ai du mal entre la convergence presque sûre de la loi forte et la convergence en probabilité de la loi faible. Si je peux abuser de ton temps...
Je modifie un peu mes notations en notant $\bar{Y}_N = \frac{1}{N}\sum_{i=1}Y_i$ la moyenne empirique de $N$ variables aléatoire $Y_i$ ($i\in\{1,\dots,N\}$) suivant la même loi.
La loi faible dit que pour tout $\varepsilon>0$ $\lim_{N\to \infty} P(|\bar{Y}_N-\mathbb{E}(Y_1)|>\varepsilon)=0$.
La loi forte dit que pour $P(\lim_{N\to \infty} \bar{Y}_N=\mathbb{E}(Y_1))=1$.
A la louche la loi faible dit qu'il est improbable d'être loin (en dehors de voisinages aussi petits soient-ils) de l'espérance et la loi forte dit qu'il est presque sur que ça soit l'espérance ?
Je sens la subtilité dans vraiment réussir à la palper. J'ai quelques rudiment de théorie de la mesure mais ça ne veut toujours pas.
J'ai un doute, est-ce que pour tout $\varepsilon>0$
$$
\lim_{N\to \infty} P(|\bar{Y}_N-\mathbb{E}(Y_1)|>\varepsilon)=0 \Leftrightarrow \lim_{N\to \infty} P(|\bar{Y}_N-\mathbb{E}(Y_1)|<\varepsilon)=1\qquad ?
$$
Je te remercie par avance de ton aide en espérant que mes élucubrations soient digestes.
Cordialement,
Mister Da
Il faudrait que tu étudies un peu la différence entre convergence en probabilités et convergence presque sûre. Ce sont des notions asymptotiques dans tous les cas. La loi faible te dit que pour tout voisinage de l'espérance, la proba que ta variable ne soit pas dans ce voisinage tend vers $0$ avec $N$ (donc avec tes mots, pour $N$ grand il est improbable d'être loin de l'espérance). La loi forte te dit qu'il est presque sûr (avec probabilité $1$) que ta suite de variables converge vers l'espérance.
Pour la fin, c'est plutôt $$\lim_{N\to \infty} P(|\bar{Y}_N-\mathbb{E}(Y_1)|>\varepsilon)=0 \Leftrightarrow \lim_{N\to \infty} P(|\bar{Y}_N-\mathbb{E}(Y_1)| \leq \varepsilon)=1,$$ ce qui est immédiat par définition d'une probabilité.
merci beaucoup pour ton aide.
Merci pour la correction du signe inférieur. Oui c'est immédiat mais j'ai réussi à semer le doute dans mon esprit.
Le truc, même en regardant de plus près ces deux notions de convergence, est que je n'arrive pas à m'imaginer un cas où il est improbable "d'être loin" de l'espérance (en sachant que $\varepsilon$ peut être aussi petit que l'on veut) sans pour autant être presque sur de valoir l'espérance. J'ai une vision trop approximative et vulgarisée pour saisir la subtilité. En gros j'ai l'image d'un intervalle $I_\varepsilon = [\mathbb{E}(Y)-\varepsilon\;,\,\mathbb{E}(Y)+\varepsilon]$. Pour $N$ infiniment grand $\bar{Y}_N$ a une probabilité de $1$ d'être dedans et je "concentre" cette probabilité en faisant tendre $\varepsilon$ vers $0$. Ma conclusion erronée est qu'à la limite j'ai une probabilité de $1$ d'être dans $I_0 = \{\mathbb{E}(Y)\}$. Je crois que je permute la limite du $\varepsilon$ et du $N$ sans m'en rendre compte.
Je cherche un exemple d'un cas où la loi faible tient mais pas la forte. Je suis tombé là https://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_large_numbers#Differences_between_the_weak_law_and_the_strong_law depuis je médite... pour essayer de me convaincre et de vaincre mes blocages psychologiques !
Cordialement,
Mister Da