TCL: problème d'indépendance
Salut.
Si $(X_n)_n$ est une suite de v.a.r.i.i.d de loi uniforme sur $[-1,1].$ On désire prouver que $\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{k=1}^nX_{k}X_{k+1}$ converge en loi.
En première vue, cela suggère une application du TCL, mais le problème, c'est que $Y_k=X_kX_{k+1}$ sont de meme loi mais ne sont pas indépendantes, alors j'ai pensé à decomposer la somme en bloc i.e, partie paire et partie impaire, dans ce cas les sommes convergent, mais cela n'implique pas que $\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{k=1}^nX_{k}X_{k+1}$ converge en loi, puisque les deux sommes ne sont pas indépendantes, ou constante pour appliquer Slutsky.
Que suggérez-vous pour relever le problème d'indépendance?
Merci d'avance.
Si $(X_n)_n$ est une suite de v.a.r.i.i.d de loi uniforme sur $[-1,1].$ On désire prouver que $\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{k=1}^nX_{k}X_{k+1}$ converge en loi.
En première vue, cela suggère une application du TCL, mais le problème, c'est que $Y_k=X_kX_{k+1}$ sont de meme loi mais ne sont pas indépendantes, alors j'ai pensé à decomposer la somme en bloc i.e, partie paire et partie impaire, dans ce cas les sommes convergent, mais cela n'implique pas que $\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{k=1}^nX_{k}X_{k+1}$ converge en loi, puisque les deux sommes ne sont pas indépendantes, ou constante pour appliquer Slutsky.
Que suggérez-vous pour relever le problème d'indépendance?
Merci d'avance.
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Réponses
j'imagine qu'il y a plusieurs manière de s'y prendre mais j'avoue ne pas en avoir vue d'élémentaire (elle existe sans doute).
Si tu as accès aux résultats de type MCMC j'ai l'impression que l'on s'en sors assez facilement en voyant $(X_k,X_{k+1})$ comme une chaîne de Markov. Sauf erreur elle est Harris, donc peu importe la distribution initiale, et uniformément ergodique (voir par exemple https://projecteuclid.org/download/pdfview_1/euclid.ps/1104335301) ce qui donne le TCL.
Si $U_n=\sum_{i=1}^nX_{2i-1}X_{2i}, \ V_n=\sum_{j=1}^nX_{2j}X_{2j+1}$ ce sont des sommes de va indépendantes, bien que $U_n$ et $V_n$ soient dépendantes comme tu le remarques. Le point est que $\mathbb{E}(U_nV_n)=0$ ce qui laisse penser que $U'_n=U_n/\sqrt{n}$ et $V'_n=V_n/\sqrt{n}$ sont asymptotiquement indépendantes au sens $$
\mathbb{E}(e^{it U'_n+is V'_n})- \mathbb{E}(e^{it U'_n}) \mathbb{E}(e^{is V'_n})\to_n 0.
$$ En remplaçant la loi uniforme sur $[-1,1]$ par la loi normale $N(0,1),$ on peut calculer explicitement la loi de $U'_n+V'_n$ et la loi limite et l’indépendance asymptotique a l'air d'avoir lieu.
Mais après tout, on ne te demande pas la loi limite, mais seulement de montrer qu'elle existe, c'est sans doute plus facile.
Pas bien compris ce que dit Sylviel. Je vois plutôt la chaîne de Markov $(S_n,X_n)$ avec $S_n=X_1X_2+\cdots+X_{n-1}X_n.$
le livre: http://www.iecl.univ-lorraine.fr/~Olivier.Garet/livre-pps/
Si $(X_n)_n$ est une suite de v.a i.i.d sans connaitre la loi de $X_1,$ et $f :$ $\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction borélienne telle que $f(X_1,X_2,X_3) \in L^2,$ le resultat reste-t-il vrai?
$(Y_k=(X_k, X_{k+1}))_{k \in \mathbb{N}}$ est une chaîne de Markov. Elle est Harris (la noyau de son carré est constant et égal à la distribution uniforme sur $[-1,1]^2$). La mesure invariante est l'uniforme sur $ [-1,1]^2$.
Je considère la fonction continue $f(x_1,x_2) = x_1 x_2 $, l'espérance sous la mesure invariante de $f(Y)$ est nulle, et le Markov Chain TCL nous dis que $\sqrt{n} \sum_{i=1}^n f(y_i) = \sqrt{n} \sum_{i=1}^n X_i X_{i+1}$ converge en loi vers une loi normale centrée dont on peut calculer la variance.
Ceci dis j'utilise un marteau pilon pour une mouche ici...
Edit : avec ta chaîne je ne vois pas trop comment utiliser un TCL (on aurait une double somme) ni avoir de récurrence (la somme s'élargit violemment). Tu avais une idée plus précise pour conclure ?
Ce n'est peut-être pas si dur de la reproduire dans ce cas particulier.
On pourra consulter la preuve dans le document ci-dessous.
En revanche, de mon expérience dans les TCL sur les processus stationnaires (ou les chaînes de Markov), le diable se cache parfois dans le calcul explicite de la variance, qui n'est pas forcément si facile.
Dans cette thématique, on peut dire des chapitres de la thèse de Chuong, qui présente notamment une preuve alternative du TCL de Billingsley.
https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00712572
Je crois qu'on trouve aussi sur le net un bon cours de mon collègue Jean Bérard, que je salue s'il passe par ici.