Déterminer la densité d'un couple de v.a.
Bonjour,
J'ai deux variables aléatoires réelles $B$ et $S$ telles que $B\sim{\cal N}(0,t)$, $S\geqslant B$ p.s., $S\sim |B|$ et $$\forall a\geqslant 0,\;\forall b\leqslant a, \quad\Bbb P(S\geqslant a,B\leqslant b)=\Bbb P(B\geqslant 2a-b).$$ Le document que je lis dit qu'il est immédiat que le couple $(S,B)$ admet la densité $$g(a,b) = \frac{2(2a-b)}{\sqrt{2\pi t^3}} \exp\left(-\frac{(2a-b)^2}{2t}\right) {\bf 1}_{a>0,b<a}.$$ Pourquoi est-ce le cas ? J'ai essayé de dériver $\displaystyle \iint_{[a,+\infty[\times]-\infty,b]} g\,{\rm d}\lambda = \int_{2a-b}^\infty \frac1{\sqrt{2\pi t}} \exp\left(-\frac{u^2}{2t}\right)\,{\rm d}u$ par rapport à $a$ puis $b$. On obtient le bon résultat, mais c'est admettre que $(S,B)$ possède une densité continue $g$.
Merci d'avance
J'ai deux variables aléatoires réelles $B$ et $S$ telles que $B\sim{\cal N}(0,t)$, $S\geqslant B$ p.s., $S\sim |B|$ et $$\forall a\geqslant 0,\;\forall b\leqslant a, \quad\Bbb P(S\geqslant a,B\leqslant b)=\Bbb P(B\geqslant 2a-b).$$ Le document que je lis dit qu'il est immédiat que le couple $(S,B)$ admet la densité $$g(a,b) = \frac{2(2a-b)}{\sqrt{2\pi t^3}} \exp\left(-\frac{(2a-b)^2}{2t}\right) {\bf 1}_{a>0,b<a}.$$ Pourquoi est-ce le cas ? J'ai essayé de dériver $\displaystyle \iint_{[a,+\infty[\times]-\infty,b]} g\,{\rm d}\lambda = \int_{2a-b}^\infty \frac1{\sqrt{2\pi t}} \exp\left(-\frac{u^2}{2t}\right)\,{\rm d}u$ par rapport à $a$ puis $b$. On obtient le bon résultat, mais c'est admettre que $(S,B)$ possède une densité continue $g$.
Merci d'avance
Réponses
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Si deux lois coïncident sur un $\pi$-système qui engendrent la tribu, elles sont égales.
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Merci :-). Soit $P = \{[a,+\infty[\times]-\infty,b] \mid a\geqslant 0,b\leqslant 0\}$. C'est un $\pi$-système qui engendre la tribu borélienne de $E=\{(a,b)\mid a\geqslant 0,b\leqslant 0\}$. On a $$\forall a\geqslant 0, \;\forall b\leqslant 0,\quad \int_a^\infty \!\!\int_{-\infty}^b g(x,y)\, {\rm d}y{\rm d}x = \int_a^\infty \frac{2}{\sqrt{2\pi t}} \exp\left(-\frac{(2x-b)^2}{2t}\right)\,{\rm d}x =\int_{2a-b}^\infty \frac1{\sqrt{2\pi t}} \exp\left(-\frac{u^2}{2t}\right)\,{\rm d}u.$$ Donc la restriction de $\Bbb P_{(S,B)} $ à $E$ vaut $ g\,{\rm d}\lambda_{|E}$. Comme $(S,B)\in E$ p.s., $\Bbb P_{(S,B)} =g\,{\rm d}\lambda$.
Maintenant, je n'appellerais pas ça "évident"... -
La notion d'"évident" dans la littérature scientifique est à prendre avec des pincettes. Cela peut vouloir dire "après une succession de calculs barbant mais classiques on peut montrer que".
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Tout à fait. On dit qu'un calcul est évident quand un vieux renard se dit qu'il aurait su le faire quand il était jeune...
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Ok. En fait, il n'y avait pas écrit "évident", mais "immédiat" (j'ai confondu). Pour moi, "immédiat", ça voulait dire "ça se voit presque sans le moindre effort", alors que "évident" veut dire "très facile". Bon, légère subtilité ; vous avez de toute façon certainement raison dans votre interprétation des intentions de l'auteur.
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Bonjour Calli,
La fonction de répartition $\mathbb{P}(S \leq a, B \leq b)$ se déduit de ton identité; tu peux alors la dériver en $a$ puis $b$ pour trouver que le couple $(S,
$ est à densité celle donnée. -
C'est un peu ce que j'avais essayé de faire, mais cette fonction n'est a priori pas forcément dérivable.
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Pourquoi elle ne serait pas?
On obtient (de mémoire) $\mathbb{P}(S \leq a, B \leq b) = \displaystyle \int_{-\infty}^{2a- b} \exp(-z^2/2t) \frac{\mathrm{d}z}{\sqrt{2\pi t}} - \int_{-\infty}^{a} \exp(-z^2/2t) \frac{\mathrm{d}z}{\sqrt{2\pi t}} $ -
Ce que je veux dire c'est qu'on ne sait pas si on peut écrire $\Bbb P(S\leqslant a,B\leqslant b)$ sous la forme $\displaystyle \iint_{]-\infty,a]\times]-\infty,b]} g\,{\rm d}\lambda$, avec $g$ continue et le dériver en $g(a,b)$.
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Bonjour!
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