Déterminer la densité d'un couple de v.a.
Bonjour,
J'ai deux variables aléatoires réelles $B$ et $S$ telles que $B\sim{\cal N}(0,t)$, $S\geqslant B$ p.s., $S\sim |B|$ et $$\forall a\geqslant 0,\;\forall b\leqslant a, \quad\Bbb P(S\geqslant a,B\leqslant b)=\Bbb P(B\geqslant 2a-b).$$ Le document que je lis dit qu'il est immédiat que le couple $(S,B)$ admet la densité $$g(a,b) = \frac{2(2a-b)}{\sqrt{2\pi t^3}} \exp\left(-\frac{(2a-b)^2}{2t}\right) {\bf 1}_{a>0,b<a}.$$ Pourquoi est-ce le cas ? J'ai essayé de dériver $\displaystyle \iint_{[a,+\infty[\times]-\infty,b]} g\,{\rm d}\lambda = \int_{2a-b}^\infty \frac1{\sqrt{2\pi t}} \exp\left(-\frac{u^2}{2t}\right)\,{\rm d}u$ par rapport à $a$ puis $b$. On obtient le bon résultat, mais c'est admettre que $(S,B)$ possède une densité continue $g$.
Merci d'avance
J'ai deux variables aléatoires réelles $B$ et $S$ telles que $B\sim{\cal N}(0,t)$, $S\geqslant B$ p.s., $S\sim |B|$ et $$\forall a\geqslant 0,\;\forall b\leqslant a, \quad\Bbb P(S\geqslant a,B\leqslant b)=\Bbb P(B\geqslant 2a-b).$$ Le document que je lis dit qu'il est immédiat que le couple $(S,B)$ admet la densité $$g(a,b) = \frac{2(2a-b)}{\sqrt{2\pi t^3}} \exp\left(-\frac{(2a-b)^2}{2t}\right) {\bf 1}_{a>0,b<a}.$$ Pourquoi est-ce le cas ? J'ai essayé de dériver $\displaystyle \iint_{[a,+\infty[\times]-\infty,b]} g\,{\rm d}\lambda = \int_{2a-b}^\infty \frac1{\sqrt{2\pi t}} \exp\left(-\frac{u^2}{2t}\right)\,{\rm d}u$ par rapport à $a$ puis $b$. On obtient le bon résultat, mais c'est admettre que $(S,B)$ possède une densité continue $g$.
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Réponses
Maintenant, je n'appellerais pas ça "évident"...
La fonction de répartition $\mathbb{P}(S \leq a, B \leq b)$ se déduit de ton identité; tu peux alors la dériver en $a$ puis $b$ pour trouver que le couple $(S, $ est à densité celle donnée.
On obtient (de mémoire) $\mathbb{P}(S \leq a, B \leq b) = \displaystyle \int_{-\infty}^{2a- b} \exp(-z^2/2t) \frac{\mathrm{d}z}{\sqrt{2\pi t}} - \int_{-\infty}^{a} \exp(-z^2/2t) \frac{\mathrm{d}z}{\sqrt{2\pi t}} $