Tribu borélienne dans $\mathbb{R}$

Code_Name · July 2020

Bonjour, est-ce que la tribu borélienne dans $\mathbb{R}$ vaut $\mathcal{P}(\mathbb{R})$? Sinon, à quoi ressemblent des ensembles non boréliens dans $\mathbb{R}$? Merci.

raoul.S · July 2020

Non, on peut montrer que la tribu borélienne est en bijection avec $\mathbb{R}$ donc strictement contenue dans $\mathcal{P}(\mathbb{R})$.

Pour la construction d'ensembles non boréliens je crois que c'est assez compliqué...

Avec l'axiome du choix on peut construire l'ensemble de Vitali qui n'est pas borélien (il n'est même pas Lebesgue-mesurable). Par contre sans l'axiome du choix je ne sais pas si on peut construire des non boréliens...

Poirot · July 2020

Comme l'a dit raoul.S, on peut montrer que $\mathcal B(\mathbb R)$ et $\mathbb R$ sont en bijection, donc il existe des parties non boréliennes de $\mathbb R$, il n'y nullement besoin de l'axiome du choix pour ça. En particulier on peut en "construire" avec un argument diagonal. Toujours sans axiome du choix il y a des constructions explicites d'ensembles non boréliens (qui sont forcément dégueulasses***). Il y a un exemple qui revient souvent et qui est donné sur cette page wikipedia : https://fr.wikipedia.org/wiki/Tribu_de_Lebesgue#Ensembles_mesurables_non_boréliens

***Christophe va nous donner une construction qu'il va juger naturelle que seul lui comprend :-D

Code_Name · August 2020

Je vois merci.

Tribu borélienne dans $\mathbb{R}$

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 14