Intégrale de Lebesgue d'une fonction

Bonjour, on veut calculer $\int_{]0;1[}x^n\log x\ dx$ à l'aide de l'intégrale de Lebesgue.

On utilise le théorème de convergence monotone mais je ne comprends pas comment il est appliqué.

Mon corrigé écrit: $$\begin{align*}
\int_{]0;1[}\underbrace{x^n\log x}_{\text{signe constant}}\ dx&\underset{\text{T.C.M}}{=}\lim_{k\to \infty}\int_{[\frac{1}{k},1-\frac{1}{k}]}x^n\log x\ dx \\
&\underset{\text{Riemann}}{=}\lim_{k\to \infty}\int_{\frac{1}{k}}^{1-\frac{1}{k}}x^n\log x\ dx
\end{align*}$$

Or, quel rapport avec le fait que $x^n\log x$ soit de signe constant? Et je ne comprends pas les égalités non plus... Quelle est la suite de fonctions en termes $k$ pour laquelle on utilise la limite $\lim_{k\to \infty}$?

Merci de votre aide.