Intégrale de Lebesgue d'une fonction
Bonjour, on veut calculer $\int_{]0;1[}x^n\log x\ dx$ à l'aide de l'intégrale de Lebesgue.
On utilise le théorème de convergence monotone mais je ne comprends pas comment il est appliqué.
Mon corrigé écrit: $$\begin{align*}
\int_{]0;1[}\underbrace{x^n\log x}_{\text{signe constant}}\ dx&\underset{\text{T.C.M}}{=}\lim_{k\to \infty}\int_{[\frac{1}{k},1-\frac{1}{k}]}x^n\log x\ dx \\
&\underset{\text{Riemann}}{=}\lim_{k\to \infty}\int_{\frac{1}{k}}^{1-\frac{1}{k}}x^n\log x\ dx
\end{align*}$$
Or, quel rapport avec le fait que $x^n\log x$ soit de signe constant? Et je ne comprends pas les égalités non plus... Quelle est la suite de fonctions en termes $k$ pour laquelle on utilise la limite $\lim_{k\to \infty}$?
Merci de votre aide.
On utilise le théorème de convergence monotone mais je ne comprends pas comment il est appliqué.
Mon corrigé écrit: $$\begin{align*}
\int_{]0;1[}\underbrace{x^n\log x}_{\text{signe constant}}\ dx&\underset{\text{T.C.M}}{=}\lim_{k\to \infty}\int_{[\frac{1}{k},1-\frac{1}{k}]}x^n\log x\ dx \\
&\underset{\text{Riemann}}{=}\lim_{k\to \infty}\int_{\frac{1}{k}}^{1-\frac{1}{k}}x^n\log x\ dx
\end{align*}$$
Or, quel rapport avec le fait que $x^n\log x$ soit de signe constant? Et je ne comprends pas les égalités non plus... Quelle est la suite de fonctions en termes $k$ pour laquelle on utilise la limite $\lim_{k\to \infty}$?
Merci de votre aide.
Réponses
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Pour appliquer les théorèmes, il faut commencer par transformer les expressions de telle manière que l'ensemble d'intégration soit toujours le même.
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Je ne comprends pas...
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Peut-être pourrais-tu commencer par donner l'énoncer que tu utilises pour le théorème de convergence monotone.
Il y a un ensemble qu'on appelle souvent $\Omega$ (l'ensemble d'intégration). Qui est $\Omega$ ici ? -
L'énoncé:
Soit $f_n:\Omega\to \overline{\mathbb{R}}_{\geq 0}$ une suite de fonctions mesurables, la suite étant croissante.
Alors on a entre autres, $\lim_{n\to \infty}\int f_n=\int \lim_{n\to \infty}f_n$
Edit: Ici $\Omega$ est $\mathbb{R}$ -
Tu peux choisir $]0,1[$ plutôt que R mais pas grave.
Indication : peux-tu trouver $g_k$ très simple et positive telle que $\int_0^1 g_k f = \int_{I_k} f$.
Avec $f = x^n \log(x)$ et $I_k = [1/k, 1 - 1/k]$
Cela permet de passer à un intervalle d'intégration constant -
C'est un peu le bronx dans les indices, là.
Simplement, on prend $f_k(x)=- 1_{[1/k,1-1/k]}(x) x^n\log(x)$. Bien noter que $n$ ne bouge pas.
Les $f_k$ sont des fonctions positives qui convergent simplement sur $]0,1[$ vers $-x^n\log(x)$. -
Oui merci aléa j'avais compris entre temps :-)
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Bonjour!
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