Intégrale: Fubini vs Tonelli
Bonjour, soient $0<a<b$. Comment savoir s'il faut utiliser le théorème de Fubini ou celui de Tonelli pour calculer par exemple l'intégrale $$\int_{[a,b]}\int_{[0,1]}x^yd\lambda_1(x)d\lambda_1(y)$$ Merci.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
L'énoncé des deux théorèmes est vraiment très étrange dans mon cours, j'ai regardé celui de wikipédia et ça me paraissait déjà plus compréhensible. Est-ce que vous pouvez m'expliquer brièvement ces deux énoncés et pourquoi en choisir un plutôt qu'un autre? Merci beaucoup.
La mesurabilité (évidente le plus souvent) suffit, et Tonelli nous dira si la fonction est intégrable.
Quand au théorème de Fubini, dans sa version rigoureuse, il est souvent mal compris et sa difficulté sous-estimée.
Il dit que si une fonction définie sur un espace produit est intégrable.
Alors,
1) pour presque toute tranche horizontale, la fonction est intégrable sur la tranche, que la fonction intégrale à une altitude donnée est mesurable une fois qu'on a complété par 0 pour les altitudes pas intégrales
2) idem pour les verticales
3) Les fonctions ainsi définies sont intégrables (avec les mesures qui vont bien), elles ont même intégrale et leur valeur commune est l'intégrale de la fonction par rapport à la mesure produit.
Souvent, on applique Tonelli avant Fubini, sauf dans des cas où un argument générique peut donner l'intégrabilité: par exemple une fonction bornée est intégrable sur tout ensemble de mesure finie.
Aussi j'aurais une question un peu en rapport..
Soit $f:X\times Y\to \overline{\mathbb{R}}_{\geq 0}$.
Posons sa restriction à la composante $y$ comme la fonction $$\begin{align*}
f(x,.):Y &\longrightarrow \overline{\mathbb{R}}_{\geq 0} \\
y &\longmapsto f(x,y)
\end{align*}
$$ Supposons donc que $f(x,.)$ soit intégrable sur $Y$.
Alors est-ce que son intégrale sur $Y$, qui dépend de $x$: $$\begin{align*}
\int_{Y}f(x,.):X &\longrightarrow \overline{\mathbb{R}}_{\geq 0} \\
x &\longmapsto \left (\int_{Y}f(x,.) \right )(x)
\end{align*}
$$ Est-ce que donc cette fonction est intégrable sur $X$ ?
Merci beaucoup.
Edit. J'ajoute aussi dans l'hypothèse que $f(.,y)$ soit intégrable sur $X$ aussi.
- $\int_{X\times Y} f\ \ d\mu\otimes\nu$
- $\int_X (\int_Y f(x,y) \ d \nu(y)) \ d \mu(x)$
- $\int_Y (\int_X f(x,y) \ d \mu(x)) \ d \nu(y)$
sont égales (et donc en particulier simultanément finies ou infinies).
Edit: En fait c'est très bien comme ça, merci beaucoup :-)
Généralement, pour la mesurabilité, il y a un argument très simple (quand on sait que les indicatrices des boréliens sont mesurables, de même que les fonctions continues, et qu'on sait que les fonctions mesurables forment une algèbre, on a presque tout).
Par contre je ne comprends toujours pas pourquoi évoquer le signe de la fonction... L'intégrale en générale n'est-elle pas simplement la différence de l'intégrale de la partie positive de $f$ et de -1*partie négative de $f$?
A la limite on pourrait définir l'intégrale de fonctions pas mesurables (mais ça ne marcherait pas bien après).
Lorsque $f$ est mesurable positive $\int f\ d\mu$ a toujours du sens.
C'est ça le truc important. C'est un nombre de $[0,+\infty]$.
Et ce nombre est bien défini même si la fonction n'est pas intégrable
(on dit que la fonction positive est intégrable si l'intégrale est finie).
Dans le cas général, on ne pourra définir l'intégrale comme la différence que tu mentionnes que si les deux intégrales que tu mentionnes ne sont pas toutes deux infinies.
Si une fonction est mesurable alors sa valeur absolue l'est.
Alors $\int |f|\ d\mu$ a toujours du sens sur $[0,+\infty]$.
Alors son intégrale dans le cas général est bien définie comme ce nombre.
Où se trouve l'erreur dans ce raisonnement?
Edit: En fait je crois comprendre, c'est peut être la dernière phrase car son intégrale ne vaut pas ce nombre en fait... Le hic se trouve précisément à la transition entre le fait que $\int |f|\ d\mu$ puisse avoir du sens sur $[0,+\infty]$ et définir ensuite $\int f\ d\mu$ je crois.
Et finalement Tonelli permet de dire que si la fonction est mesurable, et appliquer l'intégrale $\int_X (\int_Y f(x,y) \ d \nu(y)) \ d \mu(x)$ ou encore $\int_Y (\int_X f(x,y) \ d \mu(x)) \ d \nu(y)$ conduit à une intégrale finie, alors $f$ est intégrable sur l'espace produit c'est ça?
2) Oui (pour des fonctions positives, bien sûr).
Sinon: Vous avez dit "tu n'as pas besoin de regarder si l'intégrale est finie avant d'avancer dans tes calculs" par opposition à l'intégrale d'une fonction qui ne soit pas de signe constant.
Je ne vois pas pourquoi :
-"Ignorer une condition n’empêche pas d'appliquer B"
Ne puisse pas impliquer:
-"Ignorer une condition n’empêche pas d'appliquer A et B"
Où ici la condition se réfère à "l'intégrale est finie" et A et B étant le calcul de l'intégrale de $f^+$ et $f^-$ respectivement.
\int_0^1 \frac{-\log x}{1-x}\ dx,
$$ en développant $\dfrac1{1-x}$ en série sans te poser la question de convergence de l'intégrale. Tu diras juste à la fin "tiens, je l'ai calculée et elle est finie".
\frac{-\log x}{1-x} & \text{ si } x\in \,]0,1[ \\
\frac{\log (x-1)}{1-(x-1)} & \text{ si } x\in \,]1,2[
\end{cases}
$$ Où est la différence pour $\int_0^2 f(x)\ dx$ ? Pas besoin non plus de connaître si c'est intégrable, on applique le même argument à $f^+$ et $f^-$ et on trouve le résultat, et pourtant $f$ n'est pas de signe constant... ?
Par ailleurs, en pratique, on ne calcule jamais une intégrale par différence de $f_+$ et de $f_-$, genre
$\int_0^{+\infty} \frac{\sin t}t e^{-t}\ dt$
Donc en pratique, on ne calcule jamais une intégrale d'une fonction qui n'est pas de signe constant? Car calculer l'intégrale de $f^+$ et $f^-$ est le seul moyen...
$\int_0^{+\infty} e^{-t} \sin(t) \ dt$.