Intégration et changement de variable
Bonjour
Soit $\Delta,D$ deux ouverts de $\mathbb{R}^d,\ \varphi:\Delta \rightarrow D,\ C^1$-difféomorphisme de jacobien $J_{\varphi}.$
1. Prouver que $\lambda_d(D)<+\infty$ si et seulement $J_{\varphi} \in L^1(\Delta).$
2. Prouver que $J_\varphi$ est bornée sur $\Delta$ si et seulement si $\exists c>0$ tel que pour tout ouvert $\Omega \subset\Delta,\ \lambda_d(\varphi(\Omega)) \leq c\lambda_d(\Omega).$
1. Résulte du fait que $\lambda_d(D)=\int_{\Delta}|J_{\varphi}(x)|dx.$
Pour la partie 2. si $J_\varphi$ est bornée, $\exists c>0$ tel que pour tout ouvert $\Omega \subset\Delta,\ \lambda_d(\varphi(\Omega))=\int_{\Omega}|J_\varphi(x)|dx\leq c\lambda_d(\Omega).$
Comment prouver la réciproque ?
Merci.
Soit $\Delta,D$ deux ouverts de $\mathbb{R}^d,\ \varphi:\Delta \rightarrow D,\ C^1$-difféomorphisme de jacobien $J_{\varphi}.$
1. Prouver que $\lambda_d(D)<+\infty$ si et seulement $J_{\varphi} \in L^1(\Delta).$
2. Prouver que $J_\varphi$ est bornée sur $\Delta$ si et seulement si $\exists c>0$ tel que pour tout ouvert $\Omega \subset\Delta,\ \lambda_d(\varphi(\Omega)) \leq c\lambda_d(\Omega).$
1. Résulte du fait que $\lambda_d(D)=\int_{\Delta}|J_{\varphi}(x)|dx.$
Pour la partie 2. si $J_\varphi$ est bornée, $\exists c>0$ tel que pour tout ouvert $\Omega \subset\Delta,\ \lambda_d(\varphi(\Omega))=\int_{\Omega}|J_\varphi(x)|dx\leq c\lambda_d(\Omega).$
Comment prouver la réciproque ?
Merci.
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