Jeu de grattage

Bonsoir,
"L'espérance du gain cumulé $G$ par cette stratégie" n'a pas été déterminée. Son calcul nécessite d'ailleurs l'existence de $\mathbb E(X_i). $
Soit $ \:\:p=\mathbb P[X_i\geqslant c]$.
L'énoncé semble indiquer que si $X_1<c$, alors $N=1.\quad $ Dans ces conditions : $\quad \forall n \in \N^*, \:\:\mathbb P[N=n]= p^{n-1}-p^n,\quad \mathbb E(N) =\dfrac 1{1-p}.$

$\displaystyle \begin {align*}\mathbb E(G)& = (1-p)\: \mathbb E(G\mid X_1<c) +p \: \mathbb E(G\mid X_1\geqslant c)\\ \mathbb E(G)& =(1-p)\: \mathbb E(X_1-c \mid X_1<c) + p \:\Big(\mathbb E(X_1-c \mid X_1\geqslant c) + \mathbb E(G)\Big )\\ (1-p) \mathbb E(G) &=\sum_{k<c} (k-c)\mathbb P[X_1=k] + \sum_{k\geqslant c} (k-c)\mathbb P[X_1=k] \\\end{align*}.$
$$\mathbb E(G)=\dfrac {\mathbb E(X_i) -c }{\mathbb P[X_i< c]}.$$

N.B. Tout ceci relève en fait de "l'identité de Wald", un théorème qui dit que:
Si $(X_n) _{n\in \N^*}$ est une suite de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées et si $N$ est un $\text{temps d'arrêt }$ relatif à cette suite (c'est à dire une variable aléatoire à valeurs dans $\N^* \cup \{\infty\}$ telle que pour tout $n$ dans $\N^*$ la réalisation de $[N =n]$ ne dépend que des valeurs prises par $X_1,X_2,\dots X_n$), alors: $$ \displaystyle \mathbb E\Big(\sum_{n=1} ^N X_n \Big) = \mathbb E(N) \mathbb E(X_1).$$

$\displaystyle \mathbb E\Big( \sum_{n=1} ^N X_n\Big ) =\mathbb E\Big(\sum _{n=1}^{+\infty} X_n \mathcal I_{N\geqslant n} \Big) \overset{\bigstar}= \sum_{n=1}^{+\infty}\mathbb E(X_n) \mathbb E (\mathcal I_{N\geqslant n})= \sum_{n=1}^{+\infty}\mathbb E(X_n) \mathbb P[N\geqslant n] = \mathbb E(X_1) \sum_{n=1}^{+\infty}\mathbb P[N\geqslant n] =\mathbb E(X_1)\mathbb E(N).$
$\bigstar \quad$ La réalisation de$ [N \geqslant n]$ est complètement déterminée par les valeurs de $X_1,X_2,\dots X_{n-1}: \:\ \mathcal I_{N\geqslant n}\:\text{et}\: X _n \:\text{sont indépendantes.}$