Probablités, exercice avec un dé
Salut
Je suis en train de faire des anciens examens, et je n'arrive pas à faire cette question.
Un dé bien équilibré est lancé 360 fois. Quelle est la probabilité d'avoir au moins 70 fois un 3.
J'ai essayé plusieurs fois de le faire mais cependant je ne trouve pas la bonne réponse
Si quelqu'un sait m'aider, je le remercie énormément
Je suis en train de faire des anciens examens, et je n'arrive pas à faire cette question.
Un dé bien équilibré est lancé 360 fois. Quelle est la probabilité d'avoir au moins 70 fois un 3.
J'ai essayé plusieurs fois de le faire mais cependant je ne trouve pas la bonne réponse
Si quelqu'un sait m'aider, je le remercie énormément
Réponses
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Il y a une réponse exacte (loi binomiale) et une réponse approchée (loi gaussienne).
Seul le contexte permet de deviner la réponse attendue. -
Bonjour.
Connaissant la probabilité d'avoir un 3, et en supposant que les lancers sont indépendants, la loi qui donne le nombre de 3 obtenus dans une suite de 360 lancers est connue (question ce cours : C'est ...).
Après, ne reste plus qu'à calculer ...
Cordialement. -
Une réponse possible est
binomCdf(360,1/6,70,360)
Encore faut-il comprendre ce que cela veut dire et pourquoi c'est la bonne réponse. -
Je vais te mettre sur la voie Marine123.
Devant ce genre de problème, commence par faire simple.
Je reformule le problème.
On lance le dé 2 fois. Quelle est la probabilité d'avoir au moins une fois un 3 ?
Quand tu as "au moins", il faut calculer l'inverse.
Combien pour 0 fois 1/6 ? Les probabilités au dessus seront la bonne réponse (c'est la loi Binomiale bien sûr).
Essaye d'adopter cette stratégie pour ton problème. -
Pour que l'on soit clair (des individus mal intentionnés observent ce fil et font semblant de croire que les intervenants ne sont pas d'accord entre eux) :
il n'y a qu'une seule réponse exacte (obtenue via la loi binomiale comme dit par aléa, en code par bisam, ou suggéré par les deux autres intervenants).
Il y a une manière de calculer une approximation de cette valeur exacte via une loi gaussienne, ce qui est peut-être attendu dans ton cours.
Mais déjà as-tu compris pourquoi on parle ici de loi binomiale ? Et quels sont les paramètres ? -
Soit $X$ le nombre de fois ou on est tombe sur 3 en 360 essais. Alors $X$ suit une loi binomiale de parametres p=1-q=1/6 et $N=360.$ Son esperance est donc $\mathbb{E}(X)=Np=?$ et sa variance est $\sigma^2(X)=Npq=?.$ D'apres un theoreme du cours $Z_1=(X-\mathbb{E}(X))/\sigma(X)$ est presque une variable aleatoire normale $Z\sim N(0,1)$ et la fonction de $x$ $$\Phi(x)=\Pr(Z<x)$$ est tabulee dans un cours de statistique, et donc tu connais $\Pr(Z\geq x)=1-\Phi(x).$ Bref
\begin{eqnarray}
\Pr(X\geq 70)&=&\sum_{k=70}^{360}C^k_{360}\left(\frac{1}{6}\right)^k\left(\frac{5}{6}\right)^{360-k}\\
&=&\Pr((X-\mathbb{E}(X))/\sigma(X)\geq (70-\mathbb{E}(X))/\sigma(X))\sim Pr(Z\geq \sqrt {2}).
\end{eqnarray}La premiere ligne est exacte et inutilisable, la seconde fournit une valeur approchee satisfaisante. Pour ceux qui connaissent, on a aussi l'expression inutilisable
$$\Pr(X\geq 70)=\frac{360!}{69!290 !}\int_0^{1/6}t^{69}(1-t)^{290}dt.$$ -
Bonjour P.
"La première ligne est exacte et inutilisable," Je rectifie : "La première ligne est exacte et inutilisable à la main,"
En effet, un logiciel de calcul formel donne cette valeur exacte, sous la forme d'une fraction irréductible de numérateur 138408360848326696483789670856059465959654175517304029098954393704885750049175842287704188178914893733812658369168353863567315793401489750821721739888180978002950434433208886522988613258850474739712271465345255017899897405130185333860907883175963325189355061851560166140760209839
et de dénominateur 1514285028862804451478579410480621070455880012577557672764925725677854369636102523587373226308401009319297923893331466163795333370231045591537287868609763704070379509829093822208709355212257478580180449390023616501103824671297116881607696617763449727650209213137744953891004350464
puis permet d'avoir une valeur approchée à la précision souhaitée..
A noter : Pour une précision de 5 à 10 chiffres significatifs, les tableurs donnent aussi le résultat correct en une seule formule (loi binomiale cumulative). Ce qui fait que l'approximation gaussienne perd son intérêt.
Cordialement. -
C'est pas faux...merci gerard0.
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Je suis d'accord avec Gerard0. La Binomiale cumulative nous donne l'inverse du résultat immédiatement.
P. Pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué? -
jeancreatif, peux tu m'indiquer ou le post deraille et devient complique?
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Marine123 ne nous a pas dit si cet exercice provient de son cours sur la Loi Normale ou sur la Binomiale
(ce qui nous aurait fait gagner du temps...).
Je ne dis pas que ton raisonnement déraille, je dis juste, qu'une solution plus simple était à notre portée (sauf l'incertitude que je viens d'évoquer). Si Marine a besoin d'un conseil pour résoudre un exercice aussi basique, il me semble qu'il convient de se mettre à sa portée...
(De même que j'apprécie que l'on se mette à la mienne, comme le fait Sylviel, lorsque j'ai un problème).
Cordialement. -
Pas bien compris de quelle solution plus simple tu parles.
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La Binomiale cumulative.
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Bon, c'est sans espoir.
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Pourquoi pas par 4 ?
Lucas-, pourquoi viens-tu écrire n'importe quoi sur un sujet que tu ne connais pas ?
N'importe comment, ça fait 4 jours que l'auteur du sujet n'est pas revenu, pas de réaction ! -
Je pensais bien faire :-(
J'ai dis 3 car au moins 70 fois 3 elle a dis..... -
Lucas .. As-tu déjà vu un dé ?
Un dé à 6 faces. Habituellement, sur chaque face, on a un numéro entre 1 et 6. Mais, conceptuellement, on peut dire qu'un dé a 6 faces de 6 couleurs différentes, Bleu Blanc Rouge Vert Jaune et Noir.
Et la question est : en lançant le dé 360 fois, quelle est la probabilité d'obtenir au moins 70 fois la couleur rouge.
Et donc, tu vas diviser 360 par rouge ?
Quand tu joues au monopoly ou au backgammon ou aux petits chevaux, ok, les numéros obtenus correspondent à des nombres, on les additionne... Si tu joues aux petits chevaux et que tu obtiens 10 fois le n° 3, à la fin, tu as avancé de 10x3=30 cases.
Mais ici, tu vois bien que la question est : quelle est la probabilité d'otenir au moins 70 fois une face bien précise : ici, la n°3, mais ils auraient aussi bien pu choisir la n°6, la réponse serait la même.
Dans un cas, 3 est un nombre (au monopoly), et dans l'autre, 3 est un identifiant, ou un numéro (dans le cadre de l'exercice).Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
Je dirais même : pour faire des maths il ne faut surtout pas "mettre des trucs au pif".
@jeancreatif : tout dépend de ce que l'on appelle "plus simple". Si tu as un tableur ou un logiciel informatique tu peux effectivement faire le calcul. Si tu ne l'as pas alors l'approximation par la loi normale permet d'avoir le résultat à la main avec l'aide d'une table des valeurs d'une Gaussienne centrée réduite.
Gerard aime souvent dire que l'approximation gaussienne n'est plus utile aujourd'hui, et si c'est vrai en pratique je trouve que pour des raisons pédagogiques (compréhension des objets, de la manière dont augmente la précision, des symétries...) c'est toujours une bonne chose de la manipuler - même sur une binomiale. -
Sylviel, il est vrai qu'il faut un tableur (mais tu dis tout de même qu'il faut une table des valeurs pour la Gaussienne) . Par plus simple, j'entends l'algorithme de J. Bernoulli, (bien que ce soit le diamant de l'histoire des probabilités.)
Par ailleurs, un autre fil : " Jeu de grattage" n' a suscité aucune réaction, c'est pourtant un exercice intéressant, et qui comporte un " temps d'arrêt", c'est pourquoi j'aurais aimé ta réaction (et cet exercice ne semble pas difficile). -
Nouvelle imprécision.
Et c'est exactement dans la continuité de ton erreur précédente. Tu refais exactement la même faute, tu confonds un nombre et un symbole.
Peux-tu dire quelle est la différence entre un chiffre et un nombre ?Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
La plupart des français l'ignorent...
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Quand on entreprend un bac scientifique ou un bac STG, on s'intéresse aux sciences... on sait donc ce que c'est un nombre, ou un chiffre, non ?
Pour toi, B&B, saurais-tu dire à quel âge tu as compris/assimilé la différence entre nombre et chiffre.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
Franchement je ne m'en souviens plus. Je suis d'accord avec toi, un lycéen tel que tu le décris devrait savoir cela, mais cela n'empêche pas mon triste constat.
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Deux choses étranges et amusantes.
1) Marine n'a pas eu la politesse de remercier tous ceux qui l'ont aidée.
2) La toute première réponse d'Aléa avait, en deux lignes, dit tout ce qu'on pouvait dire...
(tout non, car manquait le mot "cumulative"...) -
@jean : on n'as pas trop l'habitude sur ce forum car la majorité des questionneurs y sont de niveau plutôt avancé, mais dans la plupart de forums d'aide on a une certaine proportion de gens qui passent poser une question et ne reviennent jamais.
Ici la réponse a été donnée par aléa, rendue plus "pédagogique" par gerard, et un bout de code fournit pas bisam.
Je suis ensuite passé à cause d'interférences extérieures pour confirmer qu'on était tous d'accord.
Après cela le fil a évolué vers l'intérêt d'utiliser l'approximation Gaussienne ou non.
Et finalement un lucas sauvage est apparu... (je crains que cette référence ne soit pas comprise ;-) -
Vous vous moqué tous de moi :-(
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@Lucas: as-tu compris le(s) problème(s) de ton intervention :
1) tu interviens pour donner un conseil alors que tu n'as pas d'idée de la réponse. Il vaut mieux éviter de parler quand on ne sait pas (surtout dans le monde d'aujourd'hui où tant de fake-news circulent).
2) tu as une approche qui n'est absolument pas scientifique : il ne faut pas "essayer de diviser" pour voir si on obtiendras le bon résultat ! Il faut savoir pourquoi cela pourrait avoir du sens de faire telle ou telle manipulation !
La plupart des intervenants du forum sont d'excellent niveau mathématique. Tu es le bienvenu a poser des questions sur tes exercices, à demander des exercices ou a poser des questions sur les réponses apportées à quelqu'un d'autres. Mais si tu veux donner un conseil ou une explication à quelqu'un il vaut mieux que tu sois sûr de toi (surtout si d'autres ont déjà répondu). -
Tu as sûrement raison Sylviel.
Par ailleurs, en relisant ma réponse, dont le but était de mettre Marine sur la voie, n'était pas très bonne. J'aurais mieux fait de suggérer de
lancer le dé 3 fois,
de demander de combien "au moins 2 fois un 3". C'est une simplification du même processus.
Je dois des excuses à tous ceux, que je trouvais trop exigeants dans la forme envers moi, ( comme envers tous).
Je suis un pianiste classique. Et bien, si j'entends l' interprétation d'un professionnel, qui néglige une "aile de mouche" du texte, je
raye immédiatement ce pianiste de mes tablettes. Car jamais un grand interprète ne fait cela. Donc, au fond, ce qui me parait
trop sévère ici, ne l'est sans doute pas autant que je l'imaginais... -
As-tu cherché la différence entre un nombre et un chiffre, pour répondre à la question qui t'était posée ? NON.
Tu avais une occasion d'apprendre un truc... et tu as préféré poster un message pour pleurnicher.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
SI
Un chiffre sa va jusqu'à 9
Et un nombre c'est après. -
Il y a un problème dans ton message précédent. Tu connais la différence entre une lettre et un mot?
"a" en règle générale c'est une lettre ou un mot?
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Bonjour!
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