Loi uniforme et ratio

2) $T+Z=a$ donc $T = (a- Z) \sim U[0, \frac{a}{2}]$

4) $Z-T= Z -(a-Z) = 2Z -a \sim U[0,a]$ : c'est une transformation affine d'une loi uniforme.

6) $W=ZT = aZ-Z^2 := \psi(Z)$
$\psi$ est un trinôme qui atteint son maximum en $\frac{a}{2}$ , son maximum vaut $\frac{a^2}{4}$
donc $ 0 \leq W \leq \frac{a^2}{4}$

Pour $0<t<\frac{a^2}{4}$, $P(W<t)= P( aZ-Z^2<t)= P(aZ- Z^2 -t <0) := P(\phi_t(Z) <0)$
$\phi_t$ a pour discriminant $\Delta= a^2 - 4t \leq 0$ pour tout $t$ dans le support de $W$
Ses racines (qui dépendent de $t$) sont $ r_1=\frac{a - \sqrt{\Delta} }{2}$ et $r_2 = \frac{a + \sqrt{\Delta} }{2}$ et $\phi$ est négative en dehors des racines donc pour $ \phi_t(z) < r_1 \cap \phi_t(z) > r_2$ or $W > \frac{a}{2}$

Donc $ P( W<t) = P(\dfrac{a + \sqrt{\Delta} }{2} < Z < a )= \dfrac{2}{a} \big( \dfrac{a}{2} - \dfrac{\sqrt{\Delta} }{2} \big)= 1 - \dfrac{\sqrt{a^2 -4t} }{a}$