Fonction intégrable $L^1$

Code_Name · August 2020

Bonjour, pour $g(x,y)=\frac{1}{1-xy}$, je voudrais dire que $g\in L^1(\Omega,\mathbb R_{\ge 0}),$ où $\Omega = {[0,1[}^2$.
Est-ce que je peux dire que $g$ est continue sur ${\left [0;1-\frac{1}{n+1}\right ]}^2,\ \ \forall n$ qui est un compact donc Riemann-intégrable dessus donc Lebesgue-intégrable dessus, et donc que $g$ est intégrable sur $\Omega$ ?
Merci.

aléa · August 2020

L'intégrabilité n'est pas une propriété locale. C'est essentiellement une question de taille, pas de régularité.

Dom · August 2020

En effet ça ne marche pas :

$x \mapsto \frac{1}{x}$ :
- est intégrable sur tous les $\big[ \frac{1}{n};1 \big]$ ($n$ entier non nul, disons)
- n’est pas intégrable sur $[0;1]$