Dérivée de Radon-Nikodym
Bonjour, voici un exercice sur lequel je bloque.
Soit $\mathfrak B$ la tribu borélienne sur $\mathbb R$.
1. Soient $\mu_1,\mu_2:\mathfrak B\to \bar{\mathbb{R}}_{\geq 0}$ deux mesures telles que pour tout intervalle ouvert et borné $I,\ \mu_1(I)=\mu_2(I)<+\infty$.
Montrer que $\mu_1=\mu_2$.
Ce que j'ai fait.
Tout ce que j'ai fait est que j'ai dit qu'il suffit de montrer pour les ouverts et que chaque ouvert s'écrit comme une union infinie de fermés bornés $I_n$.
Donc on a par exemple $\mu_1(a,b)=\mu_1(\cup_n I_n)\leq \cup_n \mu_1(I_n)=\cup_n \mu_2(I_n)$ et
$\mu_2(a,b)=\mu_2(\cup_n I_n)\leq \cup_n \mu_2(I_n)=\cup_n \mu_1(I_n)$
Mais ça ne me sert pas à grand chose...
2. Soit $\mu:\mathfrak B\to \bar{\mathbb{R}}_{\geq 0}$ une mesure telle que pour tout intervalle ouvert $]a,b[\subset \mathbb R$ non vide on a $\mu(]a,b[)=\arctan (b)-\arctan (a)$
et $\lambda:\mathfrak B \to \bar{\mathbb{R}}_{\geq 0}$ la restriction sur $\mathfrak B$ de la mesure de Lebesgue.
Montrer que $\mu \ll \lambda$ et déterminer la dérivée de Radon-Nikodym $\frac{d\mu}{d\lambda}$.
Ce que j'ai fait.
Pour ça la première affirmation est assez facile avec les ensembles dénombrables, mais je ne sais pas du tout comment calculer la dérivée de Radon-Nikodym...
Merci pour votre aide.
Soit $\mathfrak B$ la tribu borélienne sur $\mathbb R$.
1. Soient $\mu_1,\mu_2:\mathfrak B\to \bar{\mathbb{R}}_{\geq 0}$ deux mesures telles que pour tout intervalle ouvert et borné $I,\ \mu_1(I)=\mu_2(I)<+\infty$.
Montrer que $\mu_1=\mu_2$.
Ce que j'ai fait.
Tout ce que j'ai fait est que j'ai dit qu'il suffit de montrer pour les ouverts et que chaque ouvert s'écrit comme une union infinie de fermés bornés $I_n$.
Donc on a par exemple $\mu_1(a,b)=\mu_1(\cup_n I_n)\leq \cup_n \mu_1(I_n)=\cup_n \mu_2(I_n)$ et
$\mu_2(a,b)=\mu_2(\cup_n I_n)\leq \cup_n \mu_2(I_n)=\cup_n \mu_1(I_n)$
Mais ça ne me sert pas à grand chose...
2. Soit $\mu:\mathfrak B\to \bar{\mathbb{R}}_{\geq 0}$ une mesure telle que pour tout intervalle ouvert $]a,b[\subset \mathbb R$ non vide on a $\mu(]a,b[)=\arctan (b)-\arctan (a)$
et $\lambda:\mathfrak B \to \bar{\mathbb{R}}_{\geq 0}$ la restriction sur $\mathfrak B$ de la mesure de Lebesgue.
Montrer que $\mu \ll \lambda$ et déterminer la dérivée de Radon-Nikodym $\frac{d\mu}{d\lambda}$.
Ce que j'ai fait.
Pour ça la première affirmation est assez facile avec les ensembles dénombrables, mais je ne sais pas du tout comment calculer la dérivée de Radon-Nikodym...
Merci pour votre aide.
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Réponses
Peut-être qu'il y a plus simple...
Pour la seconde, pourquoi parles-tu d'ensembles dénombrables ? Je ne suis pas sûr que tu aies compris la notion de mesure absolument continue par rapport à une autre.
Pour la dérivée de Radon-Nykodym, tu cherches une fonction $f \in L^1(\lambda)$ telle que pour tout borélien $B$ on ait $\mu(B) = \int_B f \,\mathrm{d}\lambda$. Tu peux regarder ce que ça veut dire pour l'intervalle $]a, b[$ par exemple et deviner une fonction $f$ qui marche.
Donc pour la dérivée il suffit de prendre la dérivée de $\arctan x$ c'est-à-dire $\frac{1}{1+x^2}$?
Pour la 1ère je n'arrive pas à voir, je n'ai jamais vu ce lemme non plus, une petite piste s'il vous plaît...
Bah non ! Jamais entendu parler de l'ensemble de Cantor par exemple ? Un ensemble dénombrable est négligeable pour la mesure de Lebesgue, mais la réciproque est complètement fausse.
Oui, une dérivée de RN est $x \mapsto \frac{1}{1+x^2}$.
Pour la première question, il s'agit de montrer que tes deux mesures coïncident sur les intervalles de $\mathbb R$, ce que tu sembles visiblement savoir faire. Ensuite, il faudrait montrer le lemme des classes monotones dans ce cas. Je t'invite à suivre la démonstration de ce lien, à transposer au cas où la famille $\mathcal C$ est l'ensemble des intervalles de $\mathbb R$.
Pour la 1ère $\mu_1(a,b)=\mu_1([a,b]\setminus \{a,b \})=\mu_1([a,b])-\mu_1(\{a,b\})=\mu_2([a,b])-\mu_2(\{a,b\})$ marche ?
[Georg Cantor (1845-1918) mérite le respect de son patronyme. AD]
Suffit à quoi ? L'ensemble de Cantor, comme toute partie de mesure de Lebesgue nulle dans $\mathbb R$ est d'intérieur vide oui.
Qu'est-ce qui te permet de dire que $\mu_1(\{a, b\}) = \mu_2(\{a, b\})$ ? L'ensemble $\{a, b\}$ n'est pas un intervalle ouvert borné à ma connaissance.